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Theorem cdlemk51

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Line 6, p. 120. G , I stand for g, h. X represents tau. TODO: Combine into cdlemk52 ? (Contributed by NM, 23-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk5.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk5.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk5.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk5.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk5.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk5.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
cdlemk5.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
cdlemk5.x ⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
Assertion cdlemk51 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ∧ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ) ≤ ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk5.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk5.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk5.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk5.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk5.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk5.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk5.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk5.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
10 cdlemk5.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
11 cdlemk5.x ⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
12 simp11 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
13 simp12 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
14 simp3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
15 simp21 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝑁 ∈ 𝑇 )
16 simp22 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
17 simp23 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) )
18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk39s ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) )
19 12 13 14 15 16 17 18 syl132anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) )
20 simp11l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
21 20 hllatd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 )
23 12 13 14 15 16 17 22 syl132anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 )
24 1 6 7 8 trlcl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
25 12 23 24 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
26 simp3l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐼 ∈ 𝑇 )
27 simp3r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
28 1 5 6 7 8 trlnidat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ∈ 𝐴 )
29 12 26 27 28 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ∈ 𝐴 )
30 1 5 atbase ⊢ ( ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ∈ 𝐴 → ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ∈ 𝐵 )
31 29 30 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ∈ 𝐵 )
32 simp13 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 )
34 12 13 32 15 16 17 33 syl132anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 )
35 simp22l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
36 2 5 6 7 ltrnat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
37 12 34 35 36 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
38 1 5 atbase ⊢ ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
39 37 38 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
40 1 2 3 latjlej2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) → ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) )
41 21 25 31 39 40 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) → ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) )
42 19 41 mpd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) )
43 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk39s ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
44 12 13 32 15 16 17 43 syl132anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
45 1 6 7 8 trlcl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
46 12 34 45 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
47 simp13l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
48 simp13r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
49 1 5 6 7 8 trlnidat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 )
50 12 47 48 49 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 )
51 1 5 atbase ⊢ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐵 )
52 50 51 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐵 )
53 2 5 6 7 ltrnat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
54 12 23 35 53 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
55 1 5 atbase ⊢ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 → ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
56 54 55 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
57 1 2 3 latjlej2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) → ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) )
58 21 46 52 56 57 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) → ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) )
59 44 58 mpd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
60 1 3 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 )
61 21 39 25 60 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 )
62 1 3 5 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ∈ 𝐴 ) → ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∈ 𝐵 )
63 20 37 29 62 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∈ 𝐵 )
64 1 3 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 )
65 21 56 46 64 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 )
66 1 3 5 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 ) → ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 )
67 20 54 50 66 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 )
68 1 2 4 latmlem12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ∧ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ) ≤ ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) )
69 21 61 63 65 67 68 syl122anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ∧ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ) ≤ ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) )
70 42 59 69 mp2and ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ∧ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ) ≤ ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) )