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Theorem cdlemi

Description: Lemma I of Crawley p. 118. (Contributed by NM, 19-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemi.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemi.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemi.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemi.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemi.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemi.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemi.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemi.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemi.e ⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemi.s ⊢ 𝑆 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
Assertion cdlemi ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = 𝑆 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemi.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemi.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemi.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemi.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemi.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemi.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemi.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemi.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemi.e ⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
10 cdlemi.s ⊢ 𝑆 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
11 simp11l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
12 simp11r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
13 simp2l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → 𝑈 ∈ 𝐸 )
14 simp13 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
15 simp2r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cdlemi1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
17 11 12 13 14 15 16 syl221anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
18 simp12 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cdlemi2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
20 11 12 13 18 14 15 19 syl231anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
21 11 hllatd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
22 simp11 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
23 6 7 9 tendocl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑇 )
24 22 13 14 23 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑇 )
25 simp2rl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
26 1 5 atbase ⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵 )
27 25 26 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐵 )
28 1 6 7 ltrncl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
29 22 24 27 28 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
30 1 6 7 8 trlcl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐵 )
31 22 14 30 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐵 )
32 1 3 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 )
33 21 27 31 32 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 )
34 6 7 9 tendocl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
35 22 13 18 34 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
36 1 6 7 ltrncl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
37 22 35 27 36 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
38 6 7 ltrncnv ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ◡ 𝐹 ∈ 𝑇 )
39 22 18 38 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ◡ 𝐹 ∈ 𝑇 )
40 6 7 ltrnco ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◡ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
41 22 14 39 40 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
42 1 6 7 8 trlcl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 )
43 22 41 42 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 )
44 1 3 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∈ 𝐵 )
45 21 37 43 44 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∈ 𝐵 )
46 1 2 4 latlem12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ) )
47 21 29 33 45 46 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ) )
48 17 20 47 mpbi2and ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) )
49 hlatl ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat )
50 11 49 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → 𝐾 ∈ AtLat )
51 2 5 6 7 ltrnat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
52 22 24 25 51 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
53 2 5 6 7 ltrnel ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) )
54 22 35 15 53 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) )
55 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cdlemi1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
56 11 12 13 18 15 55 syl221anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
57 15 54 56 3jca ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) )
58 eqid ⊢ ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
59 1 2 3 4 5 6 7 8 58 cdlemh ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ≤ 𝑊 ) )
60 59 simpld ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ∈ 𝐴 )
61 57 60 syld3an2 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ∈ 𝐴 )
62 2 5 atcmp ⊢ ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ) )
63 50 52 61 62 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ) )
64 48 63 mpbid ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) )
65 64 10 eqtr4di ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = 𝑆 )