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Theorem cdlemg48

Description: Eliminate h from cdlemg47 . (Contributed by NM, 5-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg46.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemg46.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemg46.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg46.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
Assertion cdlemg48 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg46.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemg46.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
3 cdlemg46.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4 cdlemg46.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5 1 2 3 4 cdlemftr1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ∃ ℎ ∈ 𝑇 ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
6 5 3ad2ant1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ∃ ℎ ∈ 𝑇 ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
7 simp11 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
8 simp12l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
9 simp12r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
10 simp2 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ℎ ∈ 𝑇 )
11 simp13r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
12 simp13l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
13 simp3l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
14 simp3r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
15 1 2 3 4 cdlemg47 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) )
16 7 8 9 10 11 12 13 14 15 syl323anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) )
17 16 rexlimdv3a ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ∃ ℎ ∈ 𝑇 ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ) )
18 6 17 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) )