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Theorem cdlemg17dALTN

Description: Same as cdlemg17dN with fewer antecedents but longer proof TODO: fix comment. (Contributed by NM, 9-May-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg12.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemg12.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemg12.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemg12.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemg12.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemg12.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg12b.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
Assertion cdlemg17dALTN ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg12.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdlemg12.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdlemg12.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdlemg12.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdlemg12.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdlemg12.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 cdlemg12b.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 simp3l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
9 simp11 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
10 simp12 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
11 simp13 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
12 1 5 6 7 trlle ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ 𝑊 )
13 9 10 11 12 syl21anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ 𝑊 )
14 9 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
15 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
16 15 5 6 7 trlcl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
17 9 10 11 16 syl21anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
18 simp21l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
19 simp22 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
20 15 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
21 9 18 19 20 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22 15 5 lhpbase ⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
23 10 22 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
24 15 1 3 latlem12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ 𝑊 ) ↔ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 ) ) )
25 14 17 21 23 24 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ 𝑊 ) ↔ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 ) ) )
26 8 13 25 mpbi2and ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 ) )
27 hlatl ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat )
28 9 27 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝐾 ∈ AtLat )
29 simp21 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
30 simp3r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 )
31 1 4 5 6 7 trlat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 )
32 9 10 29 11 30 31 syl212anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 )
33 simp23 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 )
34 1 2 3 4 5 lhpat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐴 )
35 9 10 29 19 33 34 syl212anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐴 )
36 1 4 atcmp ⊢ ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 ) ↔ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 ) ) )
37 28 32 35 36 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 ) ↔ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 ) ) )
38 26 37 mpbid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 ) )