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Theorem cdlemedb

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Utility lemma. D represents s_2. (Contributed by NM, 20-Nov-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdlemeda.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemeda.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemeda.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemeda.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemeda.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemeda.d ⊢ 𝐷 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 )
cdlemedb.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
Assertion cdlemedb ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐷 ∈ 𝐵 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemeda.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdlemeda.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdlemeda.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdlemeda.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdlemeda.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdlemeda.d ⊢ 𝐷 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 )
7 cdlemedb.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
8 hllat ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat )
9 8 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
10 simpll ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
11 simprl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
12 simprr ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
13 7 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ 𝐵 )
14 10 11 12 13 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ 𝐵 )
15 7 5 lhpbase ⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵 )
16 15 ad2antlr ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐵 )
17 7 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 )
18 9 14 16 17 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 )
19 6 18 eqeltrid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐷 ∈ 𝐵 )