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Theorem cdlemeda

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Utility lemma. D represents s_2. (Contributed by NM, 13-Nov-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdlemeda.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemeda.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemeda.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemeda.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemeda.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemeda.d ⊢ 𝐷 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 )
Assertion cdlemeda ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝐷 ∈ 𝐴 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemeda.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdlemeda.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdlemeda.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdlemeda.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdlemeda.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdlemeda.d ⊢ 𝐷 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 )
7 simp1l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
8 simp31 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
9 simp2l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
10 2 4 hlatjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) )
11 7 8 9 10 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) )
12 11 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) )
13 simp1r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
14 simp2r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 )
15 simp32 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
16 simp33 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
17 1 2 4 5 cdlemesner ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑆 ≠ 𝑅 )
18 7 8 9 15 16 17 syl122anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑆 ≠ 𝑅 )
19 1 2 3 4 5 lhpat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐴 )
20 7 13 9 14 8 18 19 syl222anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐴 )
21 12 20 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐴 )
22 6 21 eqeltrid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝐷 ∈ 𝐴 )