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Theorem cdleme7e

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Lemma leading to cdleme7ga and cdleme7 . (Contributed by NM, 8-Jun-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdleme4.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdleme4.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdleme4.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdleme4.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdleme4.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdleme4.u ⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
cdleme4.f ⊢ 𝐹 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) )
cdleme4.g ⊢ 𝐺 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) )
cdleme7.v ⊢ 𝑉 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 )
Assertion cdleme7e ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝐺 ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme4.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdleme4.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdleme4.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdleme4.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdleme4.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdleme4.u ⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
7 cdleme4.f ⊢ 𝐹 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) )
8 cdleme4.g ⊢ 𝐺 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) )
9 cdleme7.v ⊢ 𝑉 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 )
10 simp11l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
11 10 hllatd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
12 simp2ll ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
13 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
14 13 4 atbase ⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
15 12 14 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16 hlop ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP )
17 eqid ⊢ ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 )
18 13 17 op0cl ⊢ ( 𝐾 ∈ OP → ( 0. ‘ 𝐾 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19 10 16 18 3syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 0. ‘ 𝐾 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
20 13 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 0. ‘ 𝐾 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑅 ∨ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
21 11 15 19 20 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅 ∨ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22 simp12l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
23 simp13l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
24 13 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
25 10 22 23 24 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
26 simp11 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
27 simp2rl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
28 1 2 3 4 5 6 7 13 cdleme1b ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐹 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
29 26 22 23 27 28 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝐹 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
30 13 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
31 10 12 27 30 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
32 simp11r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
33 13 5 lhpbase ⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
34 32 33 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
35 13 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
36 11 31 34 35 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
37 13 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
38 11 29 36 37 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
39 13 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
40 11 25 38 39 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
41 8 40 eqeltrid ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝐺 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
42 13 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝐺 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
43 11 15 41 42 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
44 13 1 3 latmle2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 ) ≤ 𝑊 )
45 11 25 34 44 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 ) ≤ 𝑊 )
46 6 45 eqbrtrid ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑈 ≤ 𝑊 )
47 simp2lr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 )
48 nbrne2 ⊢ ( ( 𝑈 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) → 𝑈 ≠ 𝑅 )
49 48 necomd ⊢ ( ( 𝑈 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) → 𝑅 ≠ 𝑈 )
50 46 47 49 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑅 ≠ 𝑈 )
51 simp12 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
52 simp31 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 )
53 1 2 3 4 5 6 lhpat2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
54 26 51 23 52 53 syl112anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
55 eqid ⊢ ( ⋖ ‘ 𝐾 ) = ( ⋖ ‘ 𝐾 )
56 2 55 4 atcvr1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ≠ 𝑈 ↔ 𝑅 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) )
57 10 12 54 56 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅 ≠ 𝑈 ↔ 𝑅 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) )
58 50 57 mpbid ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑅 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
59 hlol ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL )
60 10 59 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝐾 ∈ OL )
61 13 2 17 olj01 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑅 ∨ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) = 𝑅 )
62 60 15 61 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅 ∨ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) = 𝑅 )
63 simp2l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) )
64 simp2r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) )
65 simp32 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
66 1 2 3 4 5 6 7 8 cdleme5 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝐺 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
67 26 22 23 63 64 65 66 syl132anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝐺 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
68 1 2 3 4 5 6 cdleme4 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
69 26 22 23 63 65 68 syl131anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
70 67 69 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝐺 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
71 58 62 70 3brtr4d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅 ∨ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ∨ 𝐺 ) )
72 13 55 cvrne ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∨ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑅 ∨ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ∨ 𝐺 ) ) → ( 𝑅 ∨ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝐺 ) )
73 10 21 43 71 72 syl31anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅 ∨ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝐺 ) )
74 oveq2 ⊢ ( ( 0. ‘ 𝐾 ) = 𝐺 → ( 𝑅 ∨ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) = ( 𝑅 ∨ 𝐺 ) )
75 74 necon3i ⊢ ( ( 𝑅 ∨ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝐺 ) → ( 0. ‘ 𝐾 ) ≠ 𝐺 )
76 73 75 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 0. ‘ 𝐾 ) ≠ 𝐺 )
77 76 necomd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝐺 ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )