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Theorem ccatcl

Description: The concatenation of two words is a word. (Contributed by FL, 2-Feb-2014) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015) (Proof shortened by AV, 29-Apr-2020)

Ref Expression
Assertion ccatcl ( ( 𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ) → ( 𝑆 ++ 𝑇 ) ∈ Word 𝐵 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ccatfval ⊢ ( ( 𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ) → ( 𝑆 ++ 𝑇 ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑆 ) + ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) , ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑇 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) ) ) ) )
2 wrdf ⊢ ( 𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) ⟶ 𝐵 )
3 2 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑆 ) + ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) ) ) → 𝑆 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) ⟶ 𝐵 )
4 3 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑆 ) + ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 )
5 wrdf ⊢ ( 𝑇 ∈ Word 𝐵 → 𝑇 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) ⟶ 𝐵 )
6 5 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑆 ) + ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) ) → 𝑇 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) ⟶ 𝐵 )
7 simpr ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑆 ) + ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑆 ) + ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) ) )
8 7 anim1i ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑆 ) + ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑆 ) + ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) ) )
9 lencl ⊢ ( 𝑆 ∈ Word 𝐵 → ( ♯ ‘ 𝑆 ) ∈ ℕ0 )
10 9 nn0zd ⊢ ( 𝑆 ∈ Word 𝐵 → ( ♯ ‘ 𝑆 ) ∈ ℤ )
11 lencl ⊢ ( 𝑇 ∈ Word 𝐵 → ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ0 )
12 11 nn0zd ⊢ ( 𝑇 ∈ Word 𝐵 → ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℤ )
13 10 12 anim12i ⊢ ( ( 𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑆 ) ∈ ℤ ∧ ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℤ ) )
14 13 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑆 ) + ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑆 ) ∈ ℤ ∧ ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℤ ) )
15 fzocatel ⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑆 ) + ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) ) ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑆 ) ∈ ℤ ∧ ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) )
16 8 14 15 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑆 ) + ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) )
17 6 16 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑆 ) + ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑇 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) ) ∈ 𝐵 )
18 4 17 ifclda ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑆 ) + ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) ) ) → if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) , ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑇 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) ) ) ∈ 𝐵 )
19 18 fmpttd ⊢ ( ( 𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑆 ) + ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) , ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑇 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) ) ) ) : ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑆 ) + ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) ) ⟶ 𝐵 )
20 iswrdi ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑆 ) + ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) , ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑇 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) ) ) ) : ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑆 ) + ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) ) ⟶ 𝐵 → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑆 ) + ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) , ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑇 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) ) ) ) ∈ Word 𝐵 )
21 19 20 syl ⊢ ( ( 𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑆 ) + ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) , ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑇 ‘ ( 𝑥 − ( ♯ ‘ 𝑆 ) ) ) ) ) ∈ Word 𝐵 )
22 1 21 eqeltrd ⊢ ( ( 𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ) → ( 𝑆 ++ 𝑇 ) ∈ Word 𝐵 )