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Theorem untuni

Description: The union of a class is untangled iff all its members are untangled. (Contributed by Scott Fenton, 28-Feb-2011)

Ref Expression
Assertion untuni 
|- ( A. x e. U. A -. x e. x <-> A. y e. A A. x e. y -. x e. x )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 r19.23v 
 |-  ( A. y e. A ( x e. y -> -. x e. x ) <-> ( E. y e. A x e. y -> -. x e. x ) )
2 1 albii 
 |-  ( A. x A. y e. A ( x e. y -> -. x e. x ) <-> A. x ( E. y e. A x e. y -> -. x e. x ) )
3 ralcom4 
 |-  ( A. y e. A A. x ( x e. y -> -. x e. x ) <-> A. x A. y e. A ( x e. y -> -. x e. x ) )
4 eluni2 
 |-  ( x e. U. A <-> E. y e. A x e. y )
5 4 imbi1i 
 |-  ( ( x e. U. A -> -. x e. x ) <-> ( E. y e. A x e. y -> -. x e. x ) )
6 5 albii 
 |-  ( A. x ( x e. U. A -> -. x e. x ) <-> A. x ( E. y e. A x e. y -> -. x e. x ) )
7 2 3 6 3bitr4ri 
 |-  ( A. x ( x e. U. A -> -. x e. x ) <-> A. y e. A A. x ( x e. y -> -. x e. x ) )
8 df-ral 
 |-  ( A. x e. U. A -. x e. x <-> A. x ( x e. U. A -> -. x e. x ) )
9 df-ral 
 |-  ( A. x e. y -. x e. x <-> A. x ( x e. y -> -. x e. x ) )
10 9 ralbii 
 |-  ( A. y e. A A. x e. y -. x e. x <-> A. y e. A A. x ( x e. y -> -. x e. x ) )
11 7 8 10 3bitr4i 
 |-  ( A. x e. U. A -. x e. x <-> A. y e. A A. x e. y -. x e. x )