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Theorem undi

Description: Distributive law for union over intersection. Exercise 11 of TakeutiZaring p. 17. (Contributed by NM, 30-Sep-2002) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011)

Ref Expression
Assertion undi 
|- ( A u. ( B i^i C ) ) = ( ( A u. B ) i^i ( A u. C ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elin 
 |-  ( x e. ( B i^i C ) <-> ( x e. B /\ x e. C ) )
2 1 orbi2i 
 |-  ( ( x e. A \/ x e. ( B i^i C ) ) <-> ( x e. A \/ ( x e. B /\ x e. C ) ) )
3 ordi 
 |-  ( ( x e. A \/ ( x e. B /\ x e. C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( x e. A \/ x e. C ) ) )
4 elin 
 |-  ( x e. ( ( A u. B ) i^i ( A u. C ) ) <-> ( x e. ( A u. B ) /\ x e. ( A u. C ) ) )
5 elun 
 |-  ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
6 elun 
 |-  ( x e. ( A u. C ) <-> ( x e. A \/ x e. C ) )
7 5 6 anbi12i 
 |-  ( ( x e. ( A u. B ) /\ x e. ( A u. C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( x e. A \/ x e. C ) ) )
8 4 7 bitr2i 
 |-  ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( x e. A \/ x e. C ) ) <-> x e. ( ( A u. B ) i^i ( A u. C ) ) )
9 2 3 8 3bitri 
 |-  ( ( x e. A \/ x e. ( B i^i C ) ) <-> x e. ( ( A u. B ) i^i ( A u. C ) ) )
10 9 uneqri 
 |-  ( A u. ( B i^i C ) ) = ( ( A u. B ) i^i ( A u. C ) )