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Theorem trcoss

Description: Sufficient condition for the transitivity of cosets by R . (Contributed by Peter Mazsa, 26-Dec-2018)

Ref Expression
Assertion trcoss 
|- ( A. y E* u u R y -> A. x A. y A. z ( ( x ,~ R y /\ y ,~ R z ) -> x ,~ R z ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 moantr 
 |-  ( E* u u R y -> ( ( E. u ( u R x /\ u R y ) /\ E. u ( u R y /\ u R z ) ) -> E. u ( u R x /\ u R z ) ) )
2 brcoss 
 |-  ( ( x e. _V /\ y e. _V ) -> ( x ,~ R y <-> E. u ( u R x /\ u R y ) ) )
3 2 el2v 
 |-  ( x ,~ R y <-> E. u ( u R x /\ u R y ) )
4 brcoss 
 |-  ( ( y e. _V /\ z e. _V ) -> ( y ,~ R z <-> E. u ( u R y /\ u R z ) ) )
5 4 el2v 
 |-  ( y ,~ R z <-> E. u ( u R y /\ u R z ) )
6 3 5 anbi12i 
 |-  ( ( x ,~ R y /\ y ,~ R z ) <-> ( E. u ( u R x /\ u R y ) /\ E. u ( u R y /\ u R z ) ) )
7 brcoss 
 |-  ( ( x e. _V /\ z e. _V ) -> ( x ,~ R z <-> E. u ( u R x /\ u R z ) ) )
8 7 el2v 
 |-  ( x ,~ R z <-> E. u ( u R x /\ u R z ) )
9 1 6 8 3imtr4g 
 |-  ( E* u u R y -> ( ( x ,~ R y /\ y ,~ R z ) -> x ,~ R z ) )
10 9 alrimiv 
 |-  ( E* u u R y -> A. z ( ( x ,~ R y /\ y ,~ R z ) -> x ,~ R z ) )
11 10 alimi 
 |-  ( A. y E* u u R y -> A. y A. z ( ( x ,~ R y /\ y ,~ R z ) -> x ,~ R z ) )
12 11 alrimiv 
 |-  ( A. y E* u u R y -> A. x A. y A. z ( ( x ,~ R y /\ y ,~ R z ) -> x ,~ R z ) )