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Theorem sess2

Description: Subset theorem for the set-like predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015)

Ref Expression
Assertion sess2 
|- ( A C_ B -> ( R Se B -> R Se A ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ssralv 
 |-  ( A C_ B -> ( A. x e. B { y e. B | y R x } e. _V -> A. x e. A { y e. B | y R x } e. _V ) )
2 rabss2 
 |-  ( A C_ B -> { y e. A | y R x } C_ { y e. B | y R x } )
3 ssexg 
 |-  ( ( { y e. A | y R x } C_ { y e. B | y R x } /\ { y e. B | y R x } e. _V ) -> { y e. A | y R x } e. _V )
4 3 ex 
 |-  ( { y e. A | y R x } C_ { y e. B | y R x } -> ( { y e. B | y R x } e. _V -> { y e. A | y R x } e. _V ) )
5 2 4 syl 
 |-  ( A C_ B -> ( { y e. B | y R x } e. _V -> { y e. A | y R x } e. _V ) )
6 5 ralimdv 
 |-  ( A C_ B -> ( A. x e. A { y e. B | y R x } e. _V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V ) )
7 1 6 syld 
 |-  ( A C_ B -> ( A. x e. B { y e. B | y R x } e. _V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V ) )
8 df-se 
 |-  ( R Se B <-> A. x e. B { y e. B | y R x } e. _V )
9 df-se 
 |-  ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
10 7 8 9 3imtr4g 
 |-  ( A C_ B -> ( R Se B -> R Se A ) )