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Theorem rimco

Description: The composition of ring isomorphisms is a ring isomorphism. (Contributed by SN, 17-Jan-2025)

Ref Expression
Assertion rimco 
|- ( ( F e. ( S RingIso T ) /\ G e. ( R RingIso S ) ) -> ( F o. G ) e. ( R RingIso T ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 isrim0 
 |-  ( F e. ( S RingIso T ) <-> ( F e. ( S RingHom T ) /\ `' F e. ( T RingHom S ) ) )
2 isrim0 
 |-  ( G e. ( R RingIso S ) <-> ( G e. ( R RingHom S ) /\ `' G e. ( S RingHom R ) ) )
3 rhmco 
 |-  ( ( F e. ( S RingHom T ) /\ G e. ( R RingHom S ) ) -> ( F o. G ) e. ( R RingHom T ) )
4 cnvco 
 |-  `' ( F o. G ) = ( `' G o. `' F )
5 rhmco 
 |-  ( ( `' G e. ( S RingHom R ) /\ `' F e. ( T RingHom S ) ) -> ( `' G o. `' F ) e. ( T RingHom R ) )
6 5 ancoms 
 |-  ( ( `' F e. ( T RingHom S ) /\ `' G e. ( S RingHom R ) ) -> ( `' G o. `' F ) e. ( T RingHom R ) )
7 4 6 eqeltrid 
 |-  ( ( `' F e. ( T RingHom S ) /\ `' G e. ( S RingHom R ) ) -> `' ( F o. G ) e. ( T RingHom R ) )
8 3 7 anim12i 
 |-  ( ( ( F e. ( S RingHom T ) /\ G e. ( R RingHom S ) ) /\ ( `' F e. ( T RingHom S ) /\ `' G e. ( S RingHom R ) ) ) -> ( ( F o. G ) e. ( R RingHom T ) /\ `' ( F o. G ) e. ( T RingHom R ) ) )
9 8 an4s 
 |-  ( ( ( F e. ( S RingHom T ) /\ `' F e. ( T RingHom S ) ) /\ ( G e. ( R RingHom S ) /\ `' G e. ( S RingHom R ) ) ) -> ( ( F o. G ) e. ( R RingHom T ) /\ `' ( F o. G ) e. ( T RingHom R ) ) )
10 1 2 9 syl2anb 
 |-  ( ( F e. ( S RingIso T ) /\ G e. ( R RingIso S ) ) -> ( ( F o. G ) e. ( R RingHom T ) /\ `' ( F o. G ) e. ( T RingHom R ) ) )
11 isrim0 
 |-  ( ( F o. G ) e. ( R RingIso T ) <-> ( ( F o. G ) e. ( R RingHom T ) /\ `' ( F o. G ) e. ( T RingHom R ) ) )
12 10 11 sylibr 
 |-  ( ( F e. ( S RingIso T ) /\ G e. ( R RingIso S ) ) -> ( F o. G ) e. ( R RingIso T ) )