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Theorem ralcomf

Description: Commutation of restricted universal quantifiers. For a version based on fewer axioms see ralcom . (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2016)

Ref Expression
Hypotheses ralcomf.1 
|- F/_ y A
ralcomf.2 
|- F/_ x B
Assertion ralcomf 
|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ralcomf.1 
 |-  F/_ y A
2 ralcomf.2 
 |-  F/_ x B
3 ancomst 
 |-  ( ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
4 3 2albii 
 |-  ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. x A. y ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
5 alcom 
 |-  ( A. x A. y ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) <-> A. y A. x ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
6 4 5 bitri 
 |-  ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. y A. x ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
7 1 r2alf 
 |-  ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) )
8 2 r2alf 
 |-  ( A. y e. B A. x e. A ph <-> A. y A. x ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
9 6 7 8 3bitr4i 
 |-  ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )