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Theorem rabun2

Description: Abstraction restricted to a union. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015)

Ref Expression
Assertion rabun2 
|- { x e. ( A u. B ) | ph } = ( { x e. A | ph } u. { x e. B | ph } )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 df-rab 
 |-  { x e. ( A u. B ) | ph } = { x | ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) }
2 df-rab 
 |-  { x e. A | ph } = { x | ( x e. A /\ ph ) }
3 df-rab 
 |-  { x e. B | ph } = { x | ( x e. B /\ ph ) }
4 2 3 uneq12i 
 |-  ( { x e. A | ph } u. { x e. B | ph } ) = ( { x | ( x e. A /\ ph ) } u. { x | ( x e. B /\ ph ) } )
5 elun 
 |-  ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
6 5 anbi1i 
 |-  ( ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) )
7 andir 
 |-  ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) )
8 6 7 bitri 
 |-  ( ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) )
9 8 abbii 
 |-  { x | ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) } = { x | ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) }
10 unab 
 |-  ( { x | ( x e. A /\ ph ) } u. { x | ( x e. B /\ ph ) } ) = { x | ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ ph ) ) }
11 9 10 eqtr4i 
 |-  { x | ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) } = ( { x | ( x e. A /\ ph ) } u. { x | ( x e. B /\ ph ) } )
12 4 11 eqtr4i 
 |-  ( { x e. A | ph } u. { x e. B | ph } ) = { x | ( x e. ( A u. B ) /\ ph ) }
13 1 12 eqtr4i 
 |-  { x e. ( A u. B ) | ph } = ( { x e. A | ph } u. { x e. B | ph } )