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Theorem qfto

Description: A quantifier-free way of expressing the total order predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013)

Ref Expression
Assertion qfto 
|- ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x e. A A. y e. B ( x R y \/ y R x ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 opelxp 
 |-  ( <. x , y >. e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
2 brun 
 |-  ( x ( R u. `' R ) y <-> ( x R y \/ x `' R y ) )
3 df-br 
 |-  ( x ( R u. `' R ) y <-> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) )
4 vex 
 |-  x e. _V
5 vex 
 |-  y e. _V
6 4 5 brcnv 
 |-  ( x `' R y <-> y R x )
7 6 orbi2i 
 |-  ( ( x R y \/ x `' R y ) <-> ( x R y \/ y R x ) )
8 2 3 7 3bitr3i 
 |-  ( <. x , y >. e. ( R u. `' R ) <-> ( x R y \/ y R x ) )
9 1 8 imbi12i 
 |-  ( ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y \/ y R x ) ) )
10 9 2albii 
 |-  ( A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y \/ y R x ) ) )
11 relxp 
 |-  Rel ( A X. B )
12 ssrel 
 |-  ( Rel ( A X. B ) -> ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) ) )
13 11 12 ax-mp 
 |-  ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) )
14 r2al 
 |-  ( A. x e. A A. y e. B ( x R y \/ y R x ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y \/ y R x ) ) )
15 10 13 14 3bitr4i 
 |-  ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x e. A A. y e. B ( x R y \/ y R x ) )