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Theorem psrmulcllem

Description: Closure of the power series multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014)

Ref Expression
Hypotheses psrmulcl.s 
|- S = ( I mPwSer R )
psrmulcl.b 
|- B = ( Base ` S )
psrmulcl.t 
|- .x. = ( .r ` S )
psrmulcl.r 
|- ( ph -> R e. Ring )
psrmulcl.x 
|- ( ph -> X e. B )
psrmulcl.y 
|- ( ph -> Y e. B )
psrmulcl.d 
|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
Assertion psrmulcllem 
|- ( ph -> ( X .x. Y ) e. B )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 psrmulcl.s 
 |-  S = ( I mPwSer R )
2 psrmulcl.b 
 |-  B = ( Base ` S )
3 psrmulcl.t 
 |-  .x. = ( .r ` S )
4 psrmulcl.r 
 |-  ( ph -> R e. Ring )
5 psrmulcl.x 
 |-  ( ph -> X e. B )
6 psrmulcl.y 
 |-  ( ph -> Y e. B )
7 psrmulcl.d 
 |-  D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
8 eqid 
 |-  ( Base ` R ) = ( Base ` R )
9 1 8 7 2 5 psrelbas 
 |-  ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
10 1 8 7 2 6 psrelbas 
 |-  ( ph -> Y : D --> ( Base ` R ) )
11 7 4 9 10 rhmpsrlem2 
 |-  ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
12 11 fmpttd 
 |-  ( ph -> ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) : D --> ( Base ` R ) )
13 fvex 
 |-  ( Base ` R ) e. _V
14 ovex 
 |-  ( NN0 ^m I ) e. _V
15 7 14 rabex2 
 |-  D e. _V
16 13 15 elmap 
 |-  ( ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) <-> ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) : D --> ( Base ` R ) )
17 12 16 sylibr 
 |-  ( ph -> ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) )
18 eqid 
 |-  ( .r ` R ) = ( .r ` R )
19 1 2 18 3 7 5 6 psrmulfval 
 |-  ( ph -> ( X .x. Y ) = ( k e. D |-> ( R gsum ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
20 reldmpsr 
 |-  Rel dom mPwSer
21 20 1 2 elbasov 
 |-  ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
22 5 21 syl 
 |-  ( ph -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
23 22 simpld 
 |-  ( ph -> I e. _V )
24 1 8 7 2 23 psrbas 
 |-  ( ph -> B = ( ( Base ` R ) ^m D ) )
25 17 19 24 3eltr4d 
 |-  ( ph -> ( X .x. Y ) e. B )