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Theorem ordtypelem2

Description: Lemma for ordtype . (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015)

Ref Expression
Hypotheses ordtypelem.1 
|- F = recs ( G )
ordtypelem.2 
|- C = { w e. A | A. j e. ran h j R w }
ordtypelem.3 
|- G = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u R v ) )
ordtypelem.5 
|- T = { x e. On | E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t }
ordtypelem.6 
|- O = OrdIso ( R , A )
ordtypelem.7 
|- ( ph -> R We A )
ordtypelem.8 
|- ( ph -> R Se A )
Assertion ordtypelem2 
|- ( ph -> Ord T )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ordtypelem.1 
 |-  F = recs ( G )
2 ordtypelem.2 
 |-  C = { w e. A | A. j e. ran h j R w }
3 ordtypelem.3 
 |-  G = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u R v ) )
4 ordtypelem.5 
 |-  T = { x e. On | E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t }
5 ordtypelem.6 
 |-  O = OrdIso ( R , A )
6 ordtypelem.7 
 |-  ( ph -> R We A )
7 ordtypelem.8 
 |-  ( ph -> R Se A )
8 4 ssrab3 
 |-  T C_ On
9 8 a1i 
 |-  ( ph -> T C_ On )
10 9 sselda 
 |-  ( ( ph /\ a e. T ) -> a e. On )
11 onss 
 |-  ( a e. On -> a C_ On )
12 10 11 syl 
 |-  ( ( ph /\ a e. T ) -> a C_ On )
13 eloni 
 |-  ( a e. On -> Ord a )
14 10 13 syl 
 |-  ( ( ph /\ a e. T ) -> Ord a )
15 imaeq2 
 |-  ( x = a -> ( F " x ) = ( F " a ) )
16 15 raleqdv 
 |-  ( x = a -> ( A. z e. ( F " x ) z R t <-> A. z e. ( F " a ) z R t ) )
17 16 rexbidv 
 |-  ( x = a -> ( E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t <-> E. t e. A A. z e. ( F " a ) z R t ) )
18 17 4 elrab2 
 |-  ( a e. T <-> ( a e. On /\ E. t e. A A. z e. ( F " a ) z R t ) )
19 18 simprbi 
 |-  ( a e. T -> E. t e. A A. z e. ( F " a ) z R t )
20 19 adantl 
 |-  ( ( ph /\ a e. T ) -> E. t e. A A. z e. ( F " a ) z R t )
21 ordelss 
 |-  ( ( Ord a /\ x e. a ) -> x C_ a )
22 imass2 
 |-  ( x C_ a -> ( F " x ) C_ ( F " a ) )
23 ssralv 
 |-  ( ( F " x ) C_ ( F " a ) -> ( A. z e. ( F " a ) z R t -> A. z e. ( F " x ) z R t ) )
24 23 reximdv 
 |-  ( ( F " x ) C_ ( F " a ) -> ( E. t e. A A. z e. ( F " a ) z R t -> E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t ) )
25 21 22 24 3syl 
 |-  ( ( Ord a /\ x e. a ) -> ( E. t e. A A. z e. ( F " a ) z R t -> E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t ) )
26 25 ralrimdva 
 |-  ( Ord a -> ( E. t e. A A. z e. ( F " a ) z R t -> A. x e. a E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t ) )
27 14 20 26 sylc 
 |-  ( ( ph /\ a e. T ) -> A. x e. a E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t )
28 ssrab 
 |-  ( a C_ { x e. On | E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t } <-> ( a C_ On /\ A. x e. a E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t ) )
29 12 27 28 sylanbrc 
 |-  ( ( ph /\ a e. T ) -> a C_ { x e. On | E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t } )
30 29 4 sseqtrrdi 
 |-  ( ( ph /\ a e. T ) -> a C_ T )
31 30 ralrimiva 
 |-  ( ph -> A. a e. T a C_ T )
32 dftr3 
 |-  ( Tr T <-> A. a e. T a C_ T )
33 31 32 sylibr 
 |-  ( ph -> Tr T )
34 ordon 
 |-  Ord On
35 trssord 
 |-  ( ( Tr T /\ T C_ On /\ Ord On ) -> Ord T )
36 8 34 35 mp3an23 
 |-  ( Tr T -> Ord T )
37 33 36 syl 
 |-  ( ph -> Ord T )