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Theorem opcon2b

Description: Orthocomplement contraposition law. ( negcon2 analog.) (Contributed by NM, 16-Jan-2012)

Ref Expression
Hypotheses opoccl.b 
|- B = ( Base ` K )
opoccl.o 
|- ._|_ = ( oc ` K )
Assertion opcon2b 
|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X = ( ._|_ ` Y ) <-> Y = ( ._|_ ` X ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 opoccl.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 opoccl.o 
 |-  ._|_ = ( oc ` K )
3 1 2 opoccl 
 |-  ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
4 3 3adant2 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
5 1 2 opcon3b 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ ( ._|_ ` Y ) e. B ) -> ( X = ( ._|_ ` Y ) <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = ( ._|_ ` X ) ) )
6 4 5 syld3an3 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X = ( ._|_ ` Y ) <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = ( ._|_ ` X ) ) )
7 1 2 opococ 
 |-  ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
8 7 3adant2 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
9 8 eqeq1d 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = ( ._|_ ` X ) <-> Y = ( ._|_ ` X ) ) )
10 6 9 bitrd 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X = ( ._|_ ` Y ) <-> Y = ( ._|_ ` X ) ) )