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Theorem oldmm2

Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. ( chdmm2 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses oldmm1.b 
|- B = ( Base ` K )
oldmm1.j 
|- .\/ = ( join ` K )
oldmm1.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
oldmm1.o 
|- ._|_ = ( oc ` K )
Assertion oldmm2 
|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) ./\ Y ) ) = ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 oldmm1.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 oldmm1.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 oldmm1.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 oldmm1.o 
 |-  ._|_ = ( oc ` K )
5 olop 
 |-  ( K e. OL -> K e. OP )
6 1 4 opoccl 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
7 5 6 sylan 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
8 7 3adant3 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
9 1 2 3 4 oldmm1 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( ._|_ ` X ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) ./\ Y ) ) = ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) .\/ ( ._|_ ` Y ) ) )
10 8 9 syld3an2 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) ./\ Y ) ) = ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) .\/ ( ._|_ ` Y ) ) )
11 1 4 opococ 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
12 5 11 sylan 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
13 12 3adant3 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
14 13 oveq1d 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) .\/ ( ._|_ ` Y ) ) = ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) )
15 10 14 eqtrd 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) ./\ Y ) ) = ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) )