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Theorem oldmj3

Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. ( chdmj3 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses oldmm1.b 
|- B = ( Base ` K )
oldmm1.j 
|- .\/ = ( join ` K )
oldmm1.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
oldmm1.o 
|- ._|_ = ( oc ` K )
Assertion oldmj3 
|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( ( ._|_ ` X ) ./\ Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 oldmm1.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 oldmm1.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 oldmm1.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 oldmm1.o 
 |-  ._|_ = ( oc ` K )
5 olop 
 |-  ( K e. OL -> K e. OP )
6 5 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. OP )
7 simp3 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
8 1 4 opoccl 
 |-  ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
9 6 7 8 syl2anc 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
10 1 2 3 4 oldmj1 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ ( ._|_ ` Y ) e. B ) -> ( ._|_ ` ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) )
11 9 10 syld3an3 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) )
12 1 4 opococ 
 |-  ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
13 6 7 12 syl2anc 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
14 13 oveq2d 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( ( ._|_ ` X ) ./\ Y ) )
15 11 14 eqtrd 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( ( ._|_ ` X ) ./\ Y ) )