This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem oldmj4

Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. ( chdmj4 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses oldmm1.b 
|- B = ( Base ` K )
oldmm1.j 
|- .\/ = ( join ` K )
oldmm1.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
oldmm1.o 
|- ._|_ = ( oc ` K )
Assertion oldmj4 
|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( X ./\ Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 oldmm1.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 oldmm1.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 oldmm1.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 oldmm1.o 
 |-  ._|_ = ( oc ` K )
5 olop 
 |-  ( K e. OL -> K e. OP )
6 1 4 opoccl 
 |-  ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
7 5 6 sylan 
 |-  ( ( K e. OL /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
8 7 3adant2 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
9 1 2 3 4 oldmj2 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ ( ._|_ ` Y ) e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( X ./\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) )
10 8 9 syld3an3 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( X ./\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) )
11 1 4 opococ 
 |-  ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
12 5 11 sylan 
 |-  ( ( K e. OL /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
13 12 3adant2 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
14 13 oveq2d 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( X ./\ Y ) )
15 10 14 eqtrd 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( X ./\ Y ) )