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Metamath Proof Explorer

Theorem mptun

Description: Union of mappings which are mutually compatible. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015)

Ref Expression
Assertion mptun 
|- ( x e. ( A u. B ) |-> C ) = ( ( x e. A |-> C ) u. ( x e. B |-> C ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 df-mpt 
 |-  ( x e. ( A u. B ) |-> C ) = { <. x , y >. | ( x e. ( A u. B ) /\ y = C ) }
2 df-mpt 
 |-  ( x e. A |-> C ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = C ) }
3 df-mpt 
 |-  ( x e. B |-> C ) = { <. x , y >. | ( x e. B /\ y = C ) }
4 2 3 uneq12i 
 |-  ( ( x e. A |-> C ) u. ( x e. B |-> C ) ) = ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = C ) } u. { <. x , y >. | ( x e. B /\ y = C ) } )
5 elun 
 |-  ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
6 5 anbi1i 
 |-  ( ( x e. ( A u. B ) /\ y = C ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ y = C ) )
7 andir 
 |-  ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ y = C ) <-> ( ( x e. A /\ y = C ) \/ ( x e. B /\ y = C ) ) )
8 6 7 bitri 
 |-  ( ( x e. ( A u. B ) /\ y = C ) <-> ( ( x e. A /\ y = C ) \/ ( x e. B /\ y = C ) ) )
9 8 opabbii 
 |-  { <. x , y >. | ( x e. ( A u. B ) /\ y = C ) } = { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y = C ) \/ ( x e. B /\ y = C ) ) }
10 unopab 
 |-  ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = C ) } u. { <. x , y >. | ( x e. B /\ y = C ) } ) = { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y = C ) \/ ( x e. B /\ y = C ) ) }
11 9 10 eqtr4i 
 |-  { <. x , y >. | ( x e. ( A u. B ) /\ y = C ) } = ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = C ) } u. { <. x , y >. | ( x e. B /\ y = C ) } )
12 4 11 eqtr4i 
 |-  ( ( x e. A |-> C ) u. ( x e. B |-> C ) ) = { <. x , y >. | ( x e. ( A u. B ) /\ y = C ) }
13 1 12 eqtr4i 
 |-  ( x e. ( A u. B ) |-> C ) = ( ( x e. A |-> C ) u. ( x e. B |-> C ) )