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Theorem ltrnid

Description: A lattice translation is the identity function iff all atoms not under the fiducial co-atom W are equal to their values. (Contributed by NM, 24-May-2012)

Ref Expression
Hypotheses ltrneq.b 
|- B = ( Base ` K )
ltrneq.l 
|- .<_ = ( le ` K )
ltrneq.a 
|- A = ( Atoms ` K )
ltrneq.h 
|- H = ( LHyp ` K )
ltrneq.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
Assertion ltrnid 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) <-> F = ( _I |` B ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ltrneq.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 ltrneq.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 ltrneq.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
4 ltrneq.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
5 ltrneq.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
6 simp-4l 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> K e. HL )
7 eqid 
 |-  ( LAut ` K ) = ( LAut ` K )
8 4 7 5 ltrnlaut 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F e. ( LAut ` K ) )
9 8 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> F e. ( LAut ` K ) )
10 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> x e. B )
11 simplll 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) /\ p .<_ W ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
12 simpllr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) /\ p .<_ W ) -> F e. T )
13 1 3 atbase 
 |-  ( p e. A -> p e. B )
14 13 ad2antlr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) /\ p .<_ W ) -> p e. B )
15 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) /\ p .<_ W ) -> p .<_ W )
16 1 2 4 5 ltrnval1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( p e. B /\ p .<_ W ) ) -> ( F ` p ) = p )
17 11 12 14 15 16 syl112anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) /\ p .<_ W ) -> ( F ` p ) = p )
18 17 ex 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> ( p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) )
19 pm2.61 
 |-  ( ( p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) -> ( ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) -> ( F ` p ) = p ) )
20 18 19 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> ( ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) -> ( F ` p ) = p ) )
21 20 ralimdva 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) -> A. p e. A ( F ` p ) = p ) )
22 21 imp 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> A. p e. A ( F ` p ) = p )
23 22 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> A. p e. A ( F ` p ) = p )
24 1 3 7 lauteq 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ F e. ( LAut ` K ) /\ x e. B ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = p ) -> ( F ` x ) = x )
25 6 9 10 23 24 syl31anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> ( F ` x ) = x )
26 fvresi 
 |-  ( x e. B -> ( ( _I |` B ) ` x ) = x )
27 26 adantl 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> ( ( _I |` B ) ` x ) = x )
28 25 27 eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> ( F ` x ) = ( ( _I |` B ) ` x ) )
29 28 ralrimiva 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> A. x e. B ( F ` x ) = ( ( _I |` B ) ` x ) )
30 1 4 5 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F : B -1-1-onto-> B )
31 30 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> F : B -1-1-onto-> B )
32 f1ofn 
 |-  ( F : B -1-1-onto-> B -> F Fn B )
33 31 32 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> F Fn B )
34 fnresi 
 |-  ( _I |` B ) Fn B
35 eqfnfv 
 |-  ( ( F Fn B /\ ( _I |` B ) Fn B ) -> ( F = ( _I |` B ) <-> A. x e. B ( F ` x ) = ( ( _I |` B ) ` x ) ) )
36 33 34 35 sylancl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> ( F = ( _I |` B ) <-> A. x e. B ( F ` x ) = ( ( _I |` B ) ` x ) ) )
37 29 36 mpbird 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> F = ( _I |` B ) )
38 37 ex 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) -> F = ( _I |` B ) ) )
39 13 adantl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> p e. B )
40 fvresi 
 |-  ( p e. B -> ( ( _I |` B ) ` p ) = p )
41 39 40 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> ( ( _I |` B ) ` p ) = p )
42 fveq1 
 |-  ( F = ( _I |` B ) -> ( F ` p ) = ( ( _I |` B ) ` p ) )
43 42 eqeq1d 
 |-  ( F = ( _I |` B ) -> ( ( F ` p ) = p <-> ( ( _I |` B ) ` p ) = p ) )
44 41 43 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> ( F = ( _I |` B ) -> ( F ` p ) = p ) )
45 44 a1dd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> ( F = ( _I |` B ) -> ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) )
46 45 ralrimdva 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( F = ( _I |` B ) -> A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) )
47 38 46 impbid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) <-> F = ( _I |` B ) ) )