This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem ltexpi

Description: Ordering on positive integers in terms of existence of sum. (Contributed by NM, 15-Mar-1996) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion ltexpi 
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A  E. x e. N. ( A +N x ) = B ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pinn 
 |-  ( A e. N. -> A e. _om )
2 pinn 
 |-  ( B e. N. -> B e. _om )
3 nnaordex 
 |-  ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A e. B <-> E. x e. _om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
4 1 2 3 syl2an 
 |-  ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A e. B <-> E. x e. _om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
5 ltpiord 
 |-  ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A  A e. B ) )
6 addpiord 
 |-  ( ( A e. N. /\ x e. N. ) -> ( A +N x ) = ( A +o x ) )
7 6 eqeq1d 
 |-  ( ( A e. N. /\ x e. N. ) -> ( ( A +N x ) = B <-> ( A +o x ) = B ) )
8 7 pm5.32da 
 |-  ( A e. N. -> ( ( x e. N. /\ ( A +N x ) = B ) <-> ( x e. N. /\ ( A +o x ) = B ) ) )
9 elni2 
 |-  ( x e. N. <-> ( x e. _om /\ (/) e. x ) )
10 9 anbi1i 
 |-  ( ( x e. N. /\ ( A +o x ) = B ) <-> ( ( x e. _om /\ (/) e. x ) /\ ( A +o x ) = B ) )
11 anass 
 |-  ( ( ( x e. _om /\ (/) e. x ) /\ ( A +o x ) = B ) <-> ( x e. _om /\ ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
12 10 11 bitri 
 |-  ( ( x e. N. /\ ( A +o x ) = B ) <-> ( x e. _om /\ ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
13 8 12 bitrdi 
 |-  ( A e. N. -> ( ( x e. N. /\ ( A +N x ) = B ) <-> ( x e. _om /\ ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) ) )
14 13 rexbidv2 
 |-  ( A e. N. -> ( E. x e. N. ( A +N x ) = B <-> E. x e. _om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
15 14 adantr 
 |-  ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( E. x e. N. ( A +N x ) = B <-> E. x e. _om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
16 4 5 15 3bitr4d 
 |-  ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A  E. x e. N. ( A +N x ) = B ) )