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Metamath Proof Explorer

Theorem iunssOLD

Description: Obsolete version of iunss as of 2-Feb-2026. (Contributed by NM, 13-Sep-2003) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion iunssOLD 
|- ( U_ x e. A B C_ C <-> A. x e. A B C_ C )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 df-iun 
 |-  U_ x e. A B = { y | E. x e. A y e. B }
2 1 sseq1i 
 |-  ( U_ x e. A B C_ C <-> { y | E. x e. A y e. B } C_ C )
3 abss 
 |-  ( { y | E. x e. A y e. B } C_ C <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
4 df-ss 
 |-  ( B C_ C <-> A. y ( y e. B -> y e. C ) )
5 4 ralbii 
 |-  ( A. x e. A B C_ C <-> A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. C ) )
6 ralcom4 
 |-  ( A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) )
7 r19.23v 
 |-  ( A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) <-> ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
8 7 albii 
 |-  ( A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
9 5 6 8 3bitrri 
 |-  ( A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) <-> A. x e. A B C_ C )
10 2 3 9 3bitri 
 |-  ( U_ x e. A B C_ C <-> A. x e. A B C_ C )