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Theorem iunopn

Description: The indexed union of a subset of a topology is an open set. (Contributed by NM, 5-Oct-2006)

Ref Expression
Assertion iunopn 
|- ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. J ) -> U_ x e. A B e. J )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dfiun2g 
 |-  ( A. x e. A B e. J -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )
2 1 adantl 
 |-  ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. J ) -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )
3 uniiunlem 
 |-  ( A. x e. A B e. J -> ( A. x e. A B e. J <-> { y | E. x e. A y = B } C_ J ) )
4 3 ibi 
 |-  ( A. x e. A B e. J -> { y | E. x e. A y = B } C_ J )
5 uniopn 
 |-  ( ( J e. Top /\ { y | E. x e. A y = B } C_ J ) -> U. { y | E. x e. A y = B } e. J )
6 4 5 sylan2 
 |-  ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. J ) -> U. { y | E. x e. A y = B } e. J )
7 2 6 eqeltrd 
 |-  ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. J ) -> U_ x e. A B e. J )