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Theorem isnirred

Description: The property of being a non-irreducible (reducible) element in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014)

Ref Expression
Hypotheses irred.1 
|- B = ( Base ` R )
irred.2 
|- U = ( Unit ` R )
irred.3 
|- I = ( Irred ` R )
irred.4 
|- N = ( B \ U )
irred.5 
|- .x. = ( .r ` R )
Assertion isnirred 
|- ( X e. B -> ( -. X e. I <-> ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 irred.1 
 |-  B = ( Base ` R )
2 irred.2 
 |-  U = ( Unit ` R )
3 irred.3 
 |-  I = ( Irred ` R )
4 irred.4 
 |-  N = ( B \ U )
5 irred.5 
 |-  .x. = ( .r ` R )
6 4 eleq2i 
 |-  ( X e. N <-> X e. ( B \ U ) )
7 eldif 
 |-  ( X e. ( B \ U ) <-> ( X e. B /\ -. X e. U ) )
8 6 7 bitri 
 |-  ( X e. N <-> ( X e. B /\ -. X e. U ) )
9 8 baibr 
 |-  ( X e. B -> ( -. X e. U <-> X e. N ) )
10 df-ne 
 |-  ( ( x .x. y ) =/= X <-> -. ( x .x. y ) = X )
11 10 ralbii 
 |-  ( A. y e. N ( x .x. y ) =/= X <-> A. y e. N -. ( x .x. y ) = X )
12 ralnex 
 |-  ( A. y e. N -. ( x .x. y ) = X <-> -. E. y e. N ( x .x. y ) = X )
13 11 12 bitri 
 |-  ( A. y e. N ( x .x. y ) =/= X <-> -. E. y e. N ( x .x. y ) = X )
14 13 ralbii 
 |-  ( A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X <-> A. x e. N -. E. y e. N ( x .x. y ) = X )
15 ralnex 
 |-  ( A. x e. N -. E. y e. N ( x .x. y ) = X <-> -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X )
16 14 15 bitr2i 
 |-  ( -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X <-> A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X )
17 16 a1i 
 |-  ( X e. B -> ( -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X <-> A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X ) )
18 9 17 anbi12d 
 |-  ( X e. B -> ( ( -. X e. U /\ -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) <-> ( X e. N /\ A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X ) ) )
19 ioran 
 |-  ( -. ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) <-> ( -. X e. U /\ -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) )
20 1 2 3 4 5 isirred 
 |-  ( X e. I <-> ( X e. N /\ A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X ) )
21 18 19 20 3bitr4g 
 |-  ( X e. B -> ( -. ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) <-> X e. I ) )
22 21 con1bid 
 |-  ( X e. B -> ( -. X e. I <-> ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) ) )