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Theorem ishlat2

Description: The predicate "is a Hilbert lattice". Here we replace K e. CvLat with the weaker K e. AtLat and show the exchange property explicitly. (Contributed by NM, 5-Nov-2012)

Ref Expression
Hypotheses ishlat.b 
|- B = ( Base ` K )
ishlat.l 
|- .<_ = ( le ` K )
ishlat.s 
|- .< = ( lt ` K )
ishlat.j 
|- .\/ = ( join ` K )
ishlat.z 
|- .0. = ( 0. ` K )
ishlat.u 
|- .1. = ( 1. ` K )
ishlat.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion ishlat2 
|- ( K e. HL <-> ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ ( A. x e. A A. y e. A ( ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) /\ A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) /\ E. x e. B E. y e. B E. z e. B ( ( .0. .< x /\ x .< y ) /\ ( y .< z /\ z .< .1. ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ishlat.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 ishlat.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 ishlat.s 
 |-  .< = ( lt ` K )
4 ishlat.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
5 ishlat.z 
 |-  .0. = ( 0. ` K )
6 ishlat.u 
 |-  .1. = ( 1. ` K )
7 ishlat.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
8 1 2 3 4 5 6 7 ishlat1 
 |-  ( K e. HL <-> ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. CvLat ) /\ ( A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) /\ E. x e. B E. y e. B E. z e. B ( ( .0. .< x /\ x .< y ) /\ ( y .< z /\ z .< .1. ) ) ) ) )
9 1 2 4 7 iscvlat 
 |-  ( K e. CvLat <-> ( K e. AtLat /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) )
10 9 3anbi3i 
 |-  ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. CvLat ) <-> ( K e. OML /\ K e. CLat /\ ( K e. AtLat /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) ) )
11 anass 
 |-  ( ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat ) /\ K e. AtLat ) /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) <-> ( ( K e. OML /\ K e. CLat ) /\ ( K e. AtLat /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) ) )
12 df-3an 
 |-  ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) <-> ( ( K e. OML /\ K e. CLat ) /\ K e. AtLat ) )
13 12 anbi1i 
 |-  ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) <-> ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat ) /\ K e. AtLat ) /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) )
14 df-3an 
 |-  ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ ( K e. AtLat /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) ) <-> ( ( K e. OML /\ K e. CLat ) /\ ( K e. AtLat /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) ) )
15 11 13 14 3bitr4ri 
 |-  ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ ( K e. AtLat /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) ) <-> ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) )
16 10 15 bitri 
 |-  ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. CvLat ) <-> ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) )
17 16 anbi1i 
 |-  ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. CvLat ) /\ ( A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) /\ E. x e. B E. y e. B E. z e. B ( ( .0. .< x /\ x .< y ) /\ ( y .< z /\ z .< .1. ) ) ) ) <-> ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) /\ ( A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) /\ E. x e. B E. y e. B E. z e. B ( ( .0. .< x /\ x .< y ) /\ ( y .< z /\ z .< .1. ) ) ) ) )
18 anass 
 |-  ( ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) /\ ( A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) /\ E. x e. B E. y e. B E. z e. B ( ( .0. .< x /\ x .< y ) /\ ( y .< z /\ z .< .1. ) ) ) ) <-> ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ ( A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) /\ ( A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) /\ E. x e. B E. y e. B E. z e. B ( ( .0. .< x /\ x .< y ) /\ ( y .< z /\ z .< .1. ) ) ) ) ) )
19 anass 
 |-  ( ( ( A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) ) /\ E. x e. B E. y e. B E. z e. B ( ( .0. .< x /\ x .< y ) /\ ( y .< z /\ z .< .1. ) ) ) <-> ( A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) /\ ( A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) /\ E. x e. B E. y e. B E. z e. B ( ( .0. .< x /\ x .< y ) /\ ( y .< z /\ z .< .1. ) ) ) ) )
20 ancom 
 |-  ( ( A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) ) <-> ( A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) )
21 r19.26-2 
 |-  ( A. x e. A A. y e. A ( ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) /\ A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) <-> ( A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) )
22 20 21 bitr4i 
 |-  ( ( A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) /\ A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) )
23 22 anbi1i 
 |-  ( ( ( A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) ) /\ E. x e. B E. y e. B E. z e. B ( ( .0. .< x /\ x .< y ) /\ ( y .< z /\ z .< .1. ) ) ) <-> ( A. x e. A A. y e. A ( ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) /\ A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) /\ E. x e. B E. y e. B E. z e. B ( ( .0. .< x /\ x .< y ) /\ ( y .< z /\ z .< .1. ) ) ) )
24 19 23 bitr3i 
 |-  ( ( A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) /\ ( A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) /\ E. x e. B E. y e. B E. z e. B ( ( .0. .< x /\ x .< y ) /\ ( y .< z /\ z .< .1. ) ) ) ) <-> ( A. x e. A A. y e. A ( ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) /\ A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) /\ E. x e. B E. y e. B E. z e. B ( ( .0. .< x /\ x .< y ) /\ ( y .< z /\ z .< .1. ) ) ) )
25 24 anbi2i 
 |-  ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ ( A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) /\ ( A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) /\ E. x e. B E. y e. B E. z e. B ( ( .0. .< x /\ x .< y ) /\ ( y .< z /\ z .< .1. ) ) ) ) ) <-> ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ ( A. x e. A A. y e. A ( ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) /\ A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) /\ E. x e. B E. y e. B E. z e. B ( ( .0. .< x /\ x .< y ) /\ ( y .< z /\ z .< .1. ) ) ) ) )
26 18 25 bitri 
 |-  ( ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) /\ ( A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) /\ E. x e. B E. y e. B E. z e. B ( ( .0. .< x /\ x .< y ) /\ ( y .< z /\ z .< .1. ) ) ) ) <-> ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ ( A. x e. A A. y e. A ( ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) /\ A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) /\ E. x e. B E. y e. B E. z e. B ( ( .0. .< x /\ x .< y ) /\ ( y .< z /\ z .< .1. ) ) ) ) )
27 8 17 26 3bitri 
 |-  ( K e. HL <-> ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ ( A. x e. A A. y e. A ( ( x =/= y -> E. z e. A ( z =/= x /\ z =/= y /\ z .<_ ( x .\/ y ) ) ) /\ A. z e. B ( ( -. x .<_ z /\ x .<_ ( z .\/ y ) ) -> y .<_ ( z .\/ x ) ) ) /\ E. x e. B E. y e. B E. z e. B ( ( .0. .< x /\ x .< y ) /\ ( y .< z /\ z .< .1. ) ) ) ) )