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Theorem isewlk

Description: Conditions for a function (sequence of hyperedges) to be an s-walk of edges. (Contributed by AV, 4-Jan-2021)

Ref

Expression

Hypothesis

ewlksfval.i

|- I = ( iEdg ` G )

Assertion

|- ( ( G e. W /\ S e. NN0* /\ F e. U ) -> ( F e. ( G EdgWalks S ) <-> ( F e. Word dom I /\ A. k e. ( 1 ..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ewlksfval.i	\|- I = ( iEdg ` G )
2	1	ewlksfval	\|- ( ( G e. W /\ S e. NN0* ) -> ( G EdgWalks S ) = { f \| ( f e. Word dom I /\ A. k e. ( 1 ..^ ( # ` f ) ) S <_ ( # ` ( ( I ` ( f ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( f ` k ) ) ) ) ) } )
3	2	3adant3	\|- ( ( G e. W /\ S e. NN0* /\ F e. U ) -> ( G EdgWalks S ) = { f \| ( f e. Word dom I /\ A. k e. ( 1 ..^ ( # ` f ) ) S <_ ( # ` ( ( I ` ( f ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( f ` k ) ) ) ) ) } )
4	3	eleq2d	\|- ( ( G e. W /\ S e. NN0* /\ F e. U ) -> ( F e. ( G EdgWalks S ) <-> F e. { f \| ( f e. Word dom I /\ A. k e. ( 1 ..^ ( # ` f ) ) S <_ ( # ` ( ( I ` ( f ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( f ` k ) ) ) ) ) } ) )
5		eleq1	\|- ( f = F -> ( f e. Word dom I <-> F e. Word dom I ) )
6		fveq2	\|- ( f = F -> ( # ` f ) = ( # ` F ) )
7	6	oveq2d	\|- ( f = F -> ( 1 ..^ ( # ` f ) ) = ( 1 ..^ ( # ` F ) ) )
8		fveq1	\|- ( f = F -> ( f ` ( k - 1 ) ) = ( F ` ( k - 1 ) ) )
9	8	fveq2d	\|- ( f = F -> ( I ` ( f ` ( k - 1 ) ) ) = ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) )
10		fveq1	\|- ( f = F -> ( f ` k ) = ( F ` k ) )
11	10	fveq2d	\|- ( f = F -> ( I ` ( f ` k ) ) = ( I ` ( F ` k ) ) )
12	9 11	ineq12d	\|- ( f = F -> ( ( I ` ( f ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( f ` k ) ) ) = ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) )
13	12	fveq2d	\|- ( f = F -> ( # ` ( ( I ` ( f ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( f ` k ) ) ) ) = ( # ` ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) ) )
14	13	breq2d	\|- ( f = F -> ( S <_ ( # ` ( ( I ` ( f ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( f ` k ) ) ) ) <-> S <_ ( # ` ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
15	7 14	raleqbidv	\|- ( f = F -> ( A. k e. ( 1 ..^ ( # ` f ) ) S <_ ( # ` ( ( I ` ( f ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( f ` k ) ) ) ) <-> A. k e. ( 1 ..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
16	5 15	anbi12d	\|- ( f = F -> ( ( f e. Word dom I /\ A. k e. ( 1 ..^ ( # ` f ) ) S <_ ( # ` ( ( I ` ( f ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( f ` k ) ) ) ) ) <-> ( F e. Word dom I /\ A. k e. ( 1 ..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) ) )
17	16	elabg	\|- ( F e. U -> ( F e. { f \| ( f e. Word dom I /\ A. k e. ( 1 ..^ ( # ` f ) ) S <_ ( # ` ( ( I ` ( f ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( f ` k ) ) ) ) ) } <-> ( F e. Word dom I /\ A. k e. ( 1 ..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) ) )
18	17	3ad2ant3	\|- ( ( G e. W /\ S e. NN0* /\ F e. U ) -> ( F e. { f \| ( f e. Word dom I /\ A. k e. ( 1 ..^ ( # ` f ) ) S <_ ( # ` ( ( I ` ( f ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( f ` k ) ) ) ) ) } <-> ( F e. Word dom I /\ A. k e. ( 1 ..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) ) )
19	4 18	bitrd	\|- ( ( G e. W /\ S e. NN0* /\ F e. U ) -> ( F e. ( G EdgWalks S ) <-> ( F e. Word dom I /\ A. k e. ( 1 ..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( I ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) ) )