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Theorem iotasbc2

Description: Theorem *14.111 in WhiteheadRussell p. 184. (Contributed by Andrew Salmon, 11-Jul-2011)

Ref Expression
Assertion iotasbc2 
|- ( ( E! x ph /\ E! x ps ) -> ( [. ( iota x ph ) / y ]. [. ( iota x ps ) / z ]. ch <-> E. y E. z ( A. x ( ph <-> x = y ) /\ A. x ( ps <-> x = z ) /\ ch ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 iotasbc 
 |-  ( E! x ph -> ( [. ( iota x ph ) / y ]. [. ( iota x ps ) / z ]. ch <-> E. y ( A. x ( ph <-> x = y ) /\ [. ( iota x ps ) / z ]. ch ) ) )
2 iotasbc 
 |-  ( E! x ps -> ( [. ( iota x ps ) / z ]. ch <-> E. z ( A. x ( ps <-> x = z ) /\ ch ) ) )
3 2 anbi2d 
 |-  ( E! x ps -> ( ( A. x ( ph <-> x = y ) /\ [. ( iota x ps ) / z ]. ch ) <-> ( A. x ( ph <-> x = y ) /\ E. z ( A. x ( ps <-> x = z ) /\ ch ) ) ) )
4 3anass 
 |-  ( ( A. x ( ph <-> x = y ) /\ A. x ( ps <-> x = z ) /\ ch ) <-> ( A. x ( ph <-> x = y ) /\ ( A. x ( ps <-> x = z ) /\ ch ) ) )
5 4 exbii 
 |-  ( E. z ( A. x ( ph <-> x = y ) /\ A. x ( ps <-> x = z ) /\ ch ) <-> E. z ( A. x ( ph <-> x = y ) /\ ( A. x ( ps <-> x = z ) /\ ch ) ) )
6 19.42v 
 |-  ( E. z ( A. x ( ph <-> x = y ) /\ ( A. x ( ps <-> x = z ) /\ ch ) ) <-> ( A. x ( ph <-> x = y ) /\ E. z ( A. x ( ps <-> x = z ) /\ ch ) ) )
7 5 6 bitr2i 
 |-  ( ( A. x ( ph <-> x = y ) /\ E. z ( A. x ( ps <-> x = z ) /\ ch ) ) <-> E. z ( A. x ( ph <-> x = y ) /\ A. x ( ps <-> x = z ) /\ ch ) )
8 3 7 bitrdi 
 |-  ( E! x ps -> ( ( A. x ( ph <-> x = y ) /\ [. ( iota x ps ) / z ]. ch ) <-> E. z ( A. x ( ph <-> x = y ) /\ A. x ( ps <-> x = z ) /\ ch ) ) )
9 8 exbidv 
 |-  ( E! x ps -> ( E. y ( A. x ( ph <-> x = y ) /\ [. ( iota x ps ) / z ]. ch ) <-> E. y E. z ( A. x ( ph <-> x = y ) /\ A. x ( ps <-> x = z ) /\ ch ) ) )
10 1 9 sylan9bb 
 |-  ( ( E! x ph /\ E! x ps ) -> ( [. ( iota x ph ) / y ]. [. ( iota x ps ) / z ]. ch <-> E. y E. z ( A. x ( ph <-> x = y ) /\ A. x ( ps <-> x = z ) /\ ch ) ) )