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Theorem inficl

Description: A set which is closed under pairwise intersection is closed under finite intersection. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013)

Ref Expression
Assertion inficl 
|- ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A <-> ( fi ` A ) = A ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ssfii 
 |-  ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )
2 eqimss2 
 |-  ( z = A -> A C_ z )
3 2 biantrurd 
 |-  ( z = A -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) ) )
4 eleq2 
 |-  ( z = A -> ( ( x i^i y ) e. z <-> ( x i^i y ) e. A ) )
5 4 raleqbi1dv 
 |-  ( z = A -> ( A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
6 5 raleqbi1dv 
 |-  ( z = A -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
7 3 6 bitr3d 
 |-  ( z = A -> ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
8 7 elabg 
 |-  ( A e. V -> ( A e. { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } <-> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
9 intss1 
 |-  ( A e. { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } -> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ A )
10 8 9 biimtrrdi 
 |-  ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A -> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ A ) )
11 dffi2 
 |-  ( A e. V -> ( fi ` A ) = |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )
12 11 sseq1d 
 |-  ( A e. V -> ( ( fi ` A ) C_ A <-> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ A ) )
13 10 12 sylibrd 
 |-  ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A -> ( fi ` A ) C_ A ) )
14 eqss 
 |-  ( ( fi ` A ) = A <-> ( ( fi ` A ) C_ A /\ A C_ ( fi ` A ) ) )
15 14 simplbi2com 
 |-  ( A C_ ( fi ` A ) -> ( ( fi ` A ) C_ A -> ( fi ` A ) = A ) )
16 1 13 15 sylsyld 
 |-  ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A -> ( fi ` A ) = A ) )
17 fiin 
 |-  ( ( x e. ( fi ` A ) /\ y e. ( fi ` A ) ) -> ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) )
18 17 rgen2 
 |-  A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A )
19 eleq2 
 |-  ( ( fi ` A ) = A -> ( ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) <-> ( x i^i y ) e. A ) )
20 19 raleqbi1dv 
 |-  ( ( fi ` A ) = A -> ( A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) <-> A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
21 20 raleqbi1dv 
 |-  ( ( fi ` A ) = A -> ( A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
22 18 21 mpbii 
 |-  ( ( fi ` A ) = A -> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A )
23 16 22 impbid1 
 |-  ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A <-> ( fi ` A ) = A ) )