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Metamath Proof Explorer

Theorem imaco

Description: Image of the composition of two classes. (Contributed by Jason Orendorff, 12-Dec-2006) (Proof shortened by Wolf Lammen, 16-May-2025)

Ref Expression
Assertion imaco 
|- ( ( A o. B ) " C ) = ( A " ( B " C ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 df-rex 
 |-  ( E. y e. ( B " C ) y A x <-> E. y ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) )
2 vex 
 |-  x e. _V
3 2 elima 
 |-  ( x e. ( A " ( B " C ) ) <-> E. y e. ( B " C ) y A x )
4 vex 
 |-  z e. _V
5 4 2 brco 
 |-  ( z ( A o. B ) x <-> E. y ( z B y /\ y A x ) )
6 5 rexbii 
 |-  ( E. z e. C z ( A o. B ) x <-> E. z e. C E. y ( z B y /\ y A x ) )
7 rexcom4 
 |-  ( E. z e. C E. y ( z B y /\ y A x ) <-> E. y E. z e. C ( z B y /\ y A x ) )
8 r19.41v 
 |-  ( E. z e. C ( z B y /\ y A x ) <-> ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
9 8 exbii 
 |-  ( E. y E. z e. C ( z B y /\ y A x ) <-> E. y ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
10 6 7 9 3bitri 
 |-  ( E. z e. C z ( A o. B ) x <-> E. y ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
11 2 elima 
 |-  ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> E. z e. C z ( A o. B ) x )
12 vex 
 |-  y e. _V
13 12 elima 
 |-  ( y e. ( B " C ) <-> E. z e. C z B y )
14 13 anbi1i 
 |-  ( ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) <-> ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
15 14 exbii 
 |-  ( E. y ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) <-> E. y ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
16 10 11 15 3bitr4i 
 |-  ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> E. y ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) )
17 1 3 16 3bitr4ri 
 |-  ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> x e. ( A " ( B " C ) ) )
18 17 eqriv 
 |-  ( ( A o. B ) " C ) = ( A " ( B " C ) )