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Theorem fprresex

Description: The restriction of a function defined by well-founded recursion to the predecessor of an element of its domain is a set. Avoids the axiom of replacement. (Contributed by Scott Fenton, 18-Nov-2024)

Ref Expression
Hypothesis fprfung.1 
|- F = frecs ( R , A , G )
Assertion fprresex 
|- ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fprfung.1 
 |-  F = frecs ( R , A , G )
2 1 fprfung 
 |-  ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) -> Fun F )
3 funfvop 
 |-  ( ( Fun F /\ X e. dom F ) -> <. X , ( F ` X ) >. e. F )
4 2 3 sylan 
 |-  ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) -> <. X , ( F ` X ) >. e. F )
5 df-frecs 
 |-  frecs ( R , A , G ) = U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) }
6 1 5 eqtri 
 |-  F = U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) }
7 6 eleq2i 
 |-  ( <. X , ( F ` X ) >. e. F <-> <. X , ( F ` X ) >. e. U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } )
8 eluni 
 |-  ( <. X , ( F ` X ) >. e. U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } <-> E. g ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) )
9 7 8 bitri 
 |-  ( <. X , ( F ` X ) >. e. F <-> E. g ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) )
10 4 9 sylib 
 |-  ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) -> E. g ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) )
11 eqid 
 |-  { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } = { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) }
12 11 frrlem1 
 |-  { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } = { g | E. z ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( w G ( g |` Pred ( R , A , w ) ) ) ) }
13 12 eqabri 
 |-  ( g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } <-> E. z ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( w G ( g |` Pred ( R , A , w ) ) ) ) )
14 13 bilani 
 |-  ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) -> E. z ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( w G ( g |` Pred ( R , A , w ) ) ) ) )
15 14 adantl 
 |-  ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) /\ ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) -> E. z ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( w G ( g |` Pred ( R , A , w ) ) ) ) )
16 3simpa 
 |-  ( ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( w G ( g |` Pred ( R , A , w ) ) ) ) -> ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) )
17 2 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> Fun F )
18 simprlr 
 |-  ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } )
19 elssuni 
 |-  ( g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } -> g C_ U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } )
20 18 19 syl 
 |-  ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> g C_ U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } )
21 20 6 sseqtrrdi 
 |-  ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> g C_ F )
22 predeq3 
 |-  ( w = X -> Pred ( R , A , w ) = Pred ( R , A , X ) )
23 22 sseq1d 
 |-  ( w = X -> ( Pred ( R , A , w ) C_ z <-> Pred ( R , A , X ) C_ z ) )
24 simprrr 
 |-  ( ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) -> A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z )
25 24 adantl 
 |-  ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z )
26 simplr 
 |-  ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> X e. dom F )
27 simprll 
 |-  ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> <. X , ( F ` X ) >. e. g )
28 df-br 
 |-  ( X g ( F ` X ) <-> <. X , ( F ` X ) >. e. g )
29 27 28 sylibr 
 |-  ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> X g ( F ` X ) )
30 fvex 
 |-  ( F ` X ) e. _V
31 breldmg 
 |-  ( ( X e. dom F /\ ( F ` X ) e. _V /\ X g ( F ` X ) ) -> X e. dom g )
32 30 31 mp3an2 
 |-  ( ( X e. dom F /\ X g ( F ` X ) ) -> X e. dom g )
33 26 29 32 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> X e. dom g )
34 simprrl 
 |-  ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> g Fn z )
35 34 fndmd 
 |-  ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> dom g = z )
36 33 35 eleqtrd 
 |-  ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> X e. z )
37 23 25 36 rspcdva 
 |-  ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> Pred ( R , A , X ) C_ z )
38 37 35 sseqtrrd 
 |-  ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> Pred ( R , A , X ) C_ dom g )
39 fun2ssres 
 |-  ( ( Fun F /\ g C_ F /\ Pred ( R , A , X ) C_ dom g ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) = ( g |` Pred ( R , A , X ) ) )
40 17 21 38 39 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) = ( g |` Pred ( R , A , X ) ) )
41 vex 
 |-  g e. _V
42 41 resex 
 |-  ( g |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V
43 40 42 eqeltrdi 
 |-  ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V )
44 43 expr 
 |-  ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) /\ ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) -> ( ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V ) )
45 16 44 syl5 
 |-  ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) /\ ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) -> ( ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( w G ( g |` Pred ( R , A , w ) ) ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V ) )
46 45 exlimdv 
 |-  ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) /\ ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) -> ( E. z ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( w G ( g |` Pred ( R , A , w ) ) ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V ) )
47 15 46 mpd 
 |-  ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) /\ ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V )
48 10 47 exlimddv 
 |-  ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ X e. dom F ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V )