This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem fiming

Description: A finite set has a minimum under a total order. (Contributed by AV, 6-Oct-2020)

Ref Expression
Assertion fiming 
|- ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fimin2g 
 |-  ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A -. y R x )
2 nesym 
 |-  ( x =/= y <-> -. y = x )
3 2 imbi1i 
 |-  ( ( x =/= y -> x R y ) <-> ( -. y = x -> x R y ) )
4 pm4.64 
 |-  ( ( -. y = x -> x R y ) <-> ( y = x \/ x R y ) )
5 3 4 bitri 
 |-  ( ( x =/= y -> x R y ) <-> ( y = x \/ x R y ) )
6 sotric 
 |-  ( ( R Or A /\ ( y e. A /\ x e. A ) ) -> ( y R x <-> -. ( y = x \/ x R y ) ) )
7 6 ancom2s 
 |-  ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( y R x <-> -. ( y = x \/ x R y ) ) )
8 7 con2bid 
 |-  ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( y = x \/ x R y ) <-> -. y R x ) )
9 5 8 bitrid 
 |-  ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x =/= y -> x R y ) <-> -. y R x ) )
10 9 anassrs 
 |-  ( ( ( R Or A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( x =/= y -> x R y ) <-> -. y R x ) )
11 10 ralbidva 
 |-  ( ( R Or A /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) <-> A. y e. A -. y R x ) )
12 11 rexbidva 
 |-  ( R Or A -> ( E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) <-> E. x e. A A. y e. A -. y R x ) )
13 12 3ad2ant1 
 |-  ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) <-> E. x e. A A. y e. A -. y R x ) )
14 1 13 mpbird 
 |-  ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) )