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Theorem fimaxg

Description: A finite set has a maximum under a total order. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014)

Ref Expression
Assertion fimaxg 
|- ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> y R x ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fimax2g 
 |-  ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A -. x R y )
2 df-ne 
 |-  ( x =/= y <-> -. x = y )
3 2 imbi1i 
 |-  ( ( x =/= y -> y R x ) <-> ( -. x = y -> y R x ) )
4 pm4.64 
 |-  ( ( -. x = y -> y R x ) <-> ( x = y \/ y R x ) )
5 3 4 bitri 
 |-  ( ( x =/= y -> y R x ) <-> ( x = y \/ y R x ) )
6 sotric 
 |-  ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x R y <-> -. ( x = y \/ y R x ) ) )
7 6 con2bid 
 |-  ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x = y \/ y R x ) <-> -. x R y ) )
8 5 7 bitrid 
 |-  ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x =/= y -> y R x ) <-> -. x R y ) )
9 8 anassrs 
 |-  ( ( ( R Or A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( x =/= y -> y R x ) <-> -. x R y ) )
10 9 ralbidva 
 |-  ( ( R Or A /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x =/= y -> y R x ) <-> A. y e. A -. x R y ) )
11 10 rexbidva 
 |-  ( R Or A -> ( E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> y R x ) <-> E. x e. A A. y e. A -. x R y ) )
12 11 3ad2ant1 
 |-  ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> y R x ) <-> E. x e. A A. y e. A -. x R y ) )
13 1 12 mpbird 
 |-  ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> y R x ) )