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Theorem elunop

Description: Property defining a unitary Hilbert space operator. (Contributed by NM, 18-Jan-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion elunop 
|- ( T e. UniOp <-> ( T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) = ( x .ih y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elex 
 |-  ( T e. UniOp -> T e. _V )
2 fof 
 |-  ( T : ~H -onto-> ~H -> T : ~H --> ~H )
3 ax-hilex 
 |-  ~H e. _V
4 fex 
 |-  ( ( T : ~H --> ~H /\ ~H e. _V ) -> T e. _V )
5 2 3 4 sylancl 
 |-  ( T : ~H -onto-> ~H -> T e. _V )
6 5 adantr 
 |-  ( ( T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) = ( x .ih y ) ) -> T e. _V )
7 foeq1 
 |-  ( t = T -> ( t : ~H -onto-> ~H <-> T : ~H -onto-> ~H ) )
8 fveq1 
 |-  ( t = T -> ( t ` x ) = ( T ` x ) )
9 fveq1 
 |-  ( t = T -> ( t ` y ) = ( T ` y ) )
10 8 9 oveq12d 
 |-  ( t = T -> ( ( t ` x ) .ih ( t ` y ) ) = ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) )
11 10 eqeq1d 
 |-  ( t = T -> ( ( ( t ` x ) .ih ( t ` y ) ) = ( x .ih y ) <-> ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) = ( x .ih y ) ) )
12 11 2ralbidv 
 |-  ( t = T -> ( A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( t ` x ) .ih ( t ` y ) ) = ( x .ih y ) <-> A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) = ( x .ih y ) ) )
13 7 12 anbi12d 
 |-  ( t = T -> ( ( t : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( t ` x ) .ih ( t ` y ) ) = ( x .ih y ) ) <-> ( T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) = ( x .ih y ) ) ) )
14 df-unop 
 |-  UniOp = { t | ( t : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( t ` x ) .ih ( t ` y ) ) = ( x .ih y ) ) }
15 13 14 elab2g 
 |-  ( T e. _V -> ( T e. UniOp <-> ( T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) = ( x .ih y ) ) ) )
16 1 6 15 pm5.21nii 
 |-  ( T e. UniOp <-> ( T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) = ( x .ih y ) ) )