This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem elhmop

Description: Property defining a Hermitian Hilbert space operator. (Contributed by NM, 18-Jan-2006) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion elhmop 
|- ( T e. HrmOp <-> ( T : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) .ih y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fveq1 
 |-  ( t = T -> ( t ` y ) = ( T ` y ) )
2 1 oveq2d 
 |-  ( t = T -> ( x .ih ( t ` y ) ) = ( x .ih ( T ` y ) ) )
3 fveq1 
 |-  ( t = T -> ( t ` x ) = ( T ` x ) )
4 3 oveq1d 
 |-  ( t = T -> ( ( t ` x ) .ih y ) = ( ( T ` x ) .ih y ) )
5 2 4 eqeq12d 
 |-  ( t = T -> ( ( x .ih ( t ` y ) ) = ( ( t ` x ) .ih y ) <-> ( x .ih ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) .ih y ) ) )
6 5 2ralbidv 
 |-  ( t = T -> ( A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( t ` y ) ) = ( ( t ` x ) .ih y ) <-> A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) .ih y ) ) )
7 df-hmop 
 |-  HrmOp = { t e. ( ~H ^m ~H ) | A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( t ` y ) ) = ( ( t ` x ) .ih y ) }
8 6 7 elrab2 
 |-  ( T e. HrmOp <-> ( T e. ( ~H ^m ~H ) /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) .ih y ) ) )
9 ax-hilex 
 |-  ~H e. _V
10 9 9 elmap 
 |-  ( T e. ( ~H ^m ~H ) <-> T : ~H --> ~H )
11 10 anbi1i 
 |-  ( ( T e. ( ~H ^m ~H ) /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) .ih y ) ) <-> ( T : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) .ih y ) ) )
12 8 11 bitri 
 |-  ( T e. HrmOp <-> ( T : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) .ih y ) ) )