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Theorem ello1mpt2

Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016)

Ref Expression
Hypotheses ello1mpt.1 
|- ( ph -> A C_ RR )
ello1mpt.2 
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
ello1d.3 
|- ( ph -> C e. RR )
Assertion ello1mpt2 
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. y e. ( C [,) +oo ) E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ello1mpt.1 
 |-  ( ph -> A C_ RR )
2 ello1mpt.2 
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
3 ello1d.3 
 |-  ( ph -> C e. RR )
4 1 2 ello1mpt 
 |-  ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )
5 rexico 
 |-  ( ( A C_ RR /\ C e. RR ) -> ( E. y e. ( C [,) +oo ) A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) <-> E. y e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )
6 1 3 5 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( E. y e. ( C [,) +oo ) A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) <-> E. y e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )
7 6 rexbidv 
 |-  ( ph -> ( E. m e. RR E. y e. ( C [,) +oo ) A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) <-> E. m e. RR E. y e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )
8 rexcom 
 |-  ( E. y e. ( C [,) +oo ) E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) <-> E. m e. RR E. y e. ( C [,) +oo ) A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) )
9 rexcom 
 |-  ( E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) <-> E. m e. RR E. y e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) )
10 7 8 9 3bitr4g 
 |-  ( ph -> ( E. y e. ( C [,) +oo ) E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) <-> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )
11 4 10 bitr4d 
 |-  ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. y e. ( C [,) +oo ) E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )