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Theorem ello1d

Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016)

Ref Expression
Hypotheses ello1mpt.1 
|- ( ph -> A C_ RR )
ello1mpt.2 
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
ello1d.3 
|- ( ph -> C e. RR )
ello1d.4 
|- ( ph -> M e. RR )
ello1d.5 
|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ C <_ x ) ) -> B <_ M )
Assertion ello1d 
|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ello1mpt.1 
 |-  ( ph -> A C_ RR )
2 ello1mpt.2 
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
3 ello1d.3 
 |-  ( ph -> C e. RR )
4 ello1d.4 
 |-  ( ph -> M e. RR )
5 ello1d.5 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. A /\ C <_ x ) ) -> B <_ M )
6 5 expr 
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C <_ x -> B <_ M ) )
7 6 ralrimiva 
 |-  ( ph -> A. x e. A ( C <_ x -> B <_ M ) )
8 breq1 
 |-  ( y = C -> ( y <_ x <-> C <_ x ) )
9 8 imbi1d 
 |-  ( y = C -> ( ( y <_ x -> B <_ m ) <-> ( C <_ x -> B <_ m ) ) )
10 9 ralbidv 
 |-  ( y = C -> ( A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) <-> A. x e. A ( C <_ x -> B <_ m ) ) )
11 breq2 
 |-  ( m = M -> ( B <_ m <-> B <_ M ) )
12 11 imbi2d 
 |-  ( m = M -> ( ( C <_ x -> B <_ m ) <-> ( C <_ x -> B <_ M ) ) )
13 12 ralbidv 
 |-  ( m = M -> ( A. x e. A ( C <_ x -> B <_ m ) <-> A. x e. A ( C <_ x -> B <_ M ) ) )
14 10 13 rspc2ev 
 |-  ( ( C e. RR /\ M e. RR /\ A. x e. A ( C <_ x -> B <_ M ) ) -> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) )
15 3 4 7 14 syl3anc 
 |-  ( ph -> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) )
16 1 2 ello1mpt 
 |-  ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )
17 15 16 mpbird 
 |-  ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )