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Theorem ello1mpt

Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016)

Ref Expression
Hypotheses ello1mpt.1 
|- ( ph -> A C_ RR )
ello1mpt.2 
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
Assertion ello1mpt 
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ello1mpt.1 
 |-  ( ph -> A C_ RR )
2 ello1mpt.2 
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
3 2 fmpttd 
 |-  ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> RR )
4 ello12 
 |-  ( ( ( x e. A |-> B ) : A --> RR /\ A C_ RR ) -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. y e. RR E. m e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( ( x e. A |-> B ) ` z ) <_ m ) ) )
5 3 1 4 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. y e. RR E. m e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( ( x e. A |-> B ) ` z ) <_ m ) ) )
6 nfv 
 |-  F/ x y <_ z
7 nffvmpt1 
 |-  F/_ x ( ( x e. A |-> B ) ` z )
8 nfcv 
 |-  F/_ x <_
9 nfcv 
 |-  F/_ x m
10 7 8 9 nfbr 
 |-  F/ x ( ( x e. A |-> B ) ` z ) <_ m
11 6 10 nfim 
 |-  F/ x ( y <_ z -> ( ( x e. A |-> B ) ` z ) <_ m )
12 nfv 
 |-  F/ z ( y <_ x -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <_ m )
13 breq2 
 |-  ( z = x -> ( y <_ z <-> y <_ x ) )
14 fveq2 
 |-  ( z = x -> ( ( x e. A |-> B ) ` z ) = ( ( x e. A |-> B ) ` x ) )
15 14 breq1d 
 |-  ( z = x -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` z ) <_ m <-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <_ m ) )
16 13 15 imbi12d 
 |-  ( z = x -> ( ( y <_ z -> ( ( x e. A |-> B ) ` z ) <_ m ) <-> ( y <_ x -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <_ m ) ) )
17 11 12 16 cbvralw 
 |-  ( A. z e. A ( y <_ z -> ( ( x e. A |-> B ) ` z ) <_ m ) <-> A. x e. A ( y <_ x -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <_ m ) )
18 simpr 
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
19 eqid 
 |-  ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
20 19 fvmpt2 
 |-  ( ( x e. A /\ B e. RR ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
21 18 2 20 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
22 21 breq1d 
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <_ m <-> B <_ m ) )
23 22 imbi2d 
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( y <_ x -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <_ m ) <-> ( y <_ x -> B <_ m ) ) )
24 23 ralbidva 
 |-  ( ph -> ( A. x e. A ( y <_ x -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <_ m ) <-> A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )
25 17 24 bitrid 
 |-  ( ph -> ( A. z e. A ( y <_ z -> ( ( x e. A |-> B ) ` z ) <_ m ) <-> A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )
26 25 2rexbidv 
 |-  ( ph -> ( E. y e. RR E. m e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( ( x e. A |-> B ) ` z ) <_ m ) <-> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )
27 5 26 bitrd 
 |-  ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )