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Theorem dmdmd

Description: The dual modular pair property expressed in terms of the modular pair property, that hold in Hilbert lattices. Remark 29.6 of MaedaMaeda p. 130. (Contributed by NM, 27-Apr-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion dmdmd 
|- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A MH* B <-> ( _|_ ` A ) MH ( _|_ ` B ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 sseq1 
 |-  ( y = ( _|_ ` x ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) <-> ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) ) )
2 oveq1 
 |-  ( y = ( _|_ ` x ) -> ( y vH ( _|_ ` A ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) )
3 2 ineq1d 
 |-  ( y = ( _|_ ` x ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
4 oveq1 
 |-  ( y = ( _|_ ` x ) -> ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) )
5 3 4 eqeq12d 
 |-  ( y = ( _|_ ` x ) -> ( ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) <-> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
6 1 5 imbi12d 
 |-  ( y = ( _|_ ` x ) -> ( ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) <-> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
7 6 rspccv 
 |-  ( A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) -> ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
8 choccl 
 |-  ( x e. CH -> ( _|_ ` x ) e. CH )
9 8 imim1i 
 |-  ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( x e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
10 9 com12 
 |-  ( x e. CH -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
11 10 adantl 
 |-  ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
12 chsscon3 
 |-  ( ( B e. CH /\ x e. CH ) -> ( B C_ x <-> ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) ) )
13 12 biimpd 
 |-  ( ( B e. CH /\ x e. CH ) -> ( B C_ x -> ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) ) )
14 13 adantll 
 |-  ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( B C_ x -> ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) ) )
15 fveq2 
 |-  ( ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
16 choccl 
 |-  ( A e. CH -> ( _|_ ` A ) e. CH )
17 chjcl 
 |-  ( ( ( _|_ ` x ) e. CH /\ ( _|_ ` A ) e. CH ) -> ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) e. CH )
18 8 16 17 syl2an 
 |-  ( ( x e. CH /\ A e. CH ) -> ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) e. CH )
19 chdmm3 
 |-  ( ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) e. CH /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) vH B ) )
20 18 19 sylan 
 |-  ( ( ( x e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) vH B ) )
21 chdmj4 
 |-  ( ( x e. CH /\ A e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) = ( x i^i A ) )
22 21 adantr 
 |-  ( ( ( x e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) = ( x i^i A ) )
23 22 oveq1d 
 |-  ( ( ( x e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) ) vH B ) = ( ( x i^i A ) vH B ) )
24 20 23 eqtrd 
 |-  ( ( ( x e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( x i^i A ) vH B ) )
25 24 anasss 
 |-  ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( ( x i^i A ) vH B ) )
26 choccl 
 |-  ( B e. CH -> ( _|_ ` B ) e. CH )
27 chincl 
 |-  ( ( ( _|_ ` A ) e. CH /\ ( _|_ ` B ) e. CH ) -> ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) e. CH )
28 16 26 27 syl2an 
 |-  ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) e. CH )
29 chdmj2 
 |-  ( ( x e. CH /\ ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) = ( x i^i ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
30 28 29 sylan2 
 |-  ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) = ( x i^i ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
31 chdmm4 
 |-  ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( A vH B ) )
32 31 adantl 
 |-  ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( A vH B ) )
33 32 ineq2d 
 |-  ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( x i^i ( _|_ ` ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) = ( x i^i ( A vH B ) ) )
34 30 33 eqtrd 
 |-  ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) = ( x i^i ( A vH B ) ) )
35 25 34 eqeq12d 
 |-  ( ( x e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) <-> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) )
36 35 ancoms 
 |-  ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) <-> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) )
37 15 36 imbitrid 
 |-  ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) )
38 14 37 imim12d 
 |-  ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
39 11 38 syld 
 |-  ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
40 39 ex 
 |-  ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( x e. CH -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
41 40 com23 
 |-  ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` x ) e. CH -> ( ( _|_ ` x ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( ( _|_ ` x ) vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( _|_ ` x ) vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) -> ( x e. CH -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
42 7 41 syl5 
 |-  ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) -> ( x e. CH -> ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) ) )
43 42 ralrimdv 
 |-  ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) -> A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
44 sseq2 
 |-  ( x = ( _|_ ` y ) -> ( B C_ x <-> B C_ ( _|_ ` y ) ) )
45 ineq1 
 |-  ( x = ( _|_ ` y ) -> ( x i^i A ) = ( ( _|_ ` y ) i^i A ) )
46 45 oveq1d 
 |-  ( x = ( _|_ ` y ) -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) )
47 ineq1 
 |-  ( x = ( _|_ ` y ) -> ( x i^i ( A vH B ) ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) )
48 46 47 eqeq12d 
 |-  ( x = ( _|_ ` y ) -> ( ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) <-> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) )
49 44 48 imbi12d 
 |-  ( x = ( _|_ ` y ) -> ( ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) <-> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
50 49 rspccv 
 |-  ( A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) -> ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
51 choccl 
 |-  ( y e. CH -> ( _|_ ` y ) e. CH )
52 51 imim1i 
 |-  ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( y e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
53 52 com12 
 |-  ( y e. CH -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
54 53 adantl 
 |-  ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) )
55 chsscon2 
 |-  ( ( B e. CH /\ y e. CH ) -> ( B C_ ( _|_ ` y ) <-> y C_ ( _|_ ` B ) ) )
56 55 biimprd 
 |-  ( ( B e. CH /\ y e. CH ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> B C_ ( _|_ ` y ) ) )
57 56 adantll 
 |-  ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> B C_ ( _|_ ` y ) ) )
58 fveq2 
 |-  ( ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) )
59 chincl 
 |-  ( ( ( _|_ ` y ) e. CH /\ A e. CH ) -> ( ( _|_ ` y ) i^i A ) e. CH )
60 51 59 sylan 
 |-  ( ( y e. CH /\ A e. CH ) -> ( ( _|_ ` y ) i^i A ) e. CH )
61 chdmj1 
 |-  ( ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) e. CH /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
62 60 61 sylan 
 |-  ( ( ( y e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
63 chdmm2 
 |-  ( ( y e. CH /\ A e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) = ( y vH ( _|_ ` A ) ) )
64 63 adantr 
 |-  ( ( ( y e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) = ( y vH ( _|_ ` A ) ) )
65 64 ineq1d 
 |-  ( ( ( y e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
66 62 65 eqtrd 
 |-  ( ( ( y e. CH /\ A e. CH ) /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
67 66 anasss 
 |-  ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
68 chjcl 
 |-  ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A vH B ) e. CH )
69 chdmm2 
 |-  ( ( y e. CH /\ ( A vH B ) e. CH ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) = ( y vH ( _|_ ` ( A vH B ) ) ) )
70 68 69 sylan2 
 |-  ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) = ( y vH ( _|_ ` ( A vH B ) ) ) )
71 chdmj1 
 |-  ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( _|_ ` ( A vH B ) ) = ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
72 71 adantl 
 |-  ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( A vH B ) ) = ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) )
73 72 oveq2d 
 |-  ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( y vH ( _|_ ` ( A vH B ) ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) )
74 70 73 eqtrd 
 |-  ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) )
75 67 74 eqeq12d 
 |-  ( ( y e. CH /\ ( A e. CH /\ B e. CH ) ) -> ( ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) <-> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
76 75 ancoms 
 |-  ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( _|_ ` ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) ) = ( _|_ ` ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) <-> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
77 58 76 imbitrid 
 |-  ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) )
78 57 77 imim12d 
 |-  ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
79 54 78 syld 
 |-  ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ y e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
80 79 ex 
 |-  ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( y e. CH -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) ) )
81 80 com23 
 |-  ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( ( _|_ ` y ) e. CH -> ( B C_ ( _|_ ` y ) -> ( ( ( _|_ ` y ) i^i A ) vH B ) = ( ( _|_ ` y ) i^i ( A vH B ) ) ) ) -> ( y e. CH -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) ) )
82 50 81 syl5 
 |-  ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) -> ( y e. CH -> ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) ) )
83 82 ralrimdv 
 |-  ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) -> A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
84 43 83 impbid 
 |-  ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) <-> A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
85 mdbr 
 |-  ( ( ( _|_ ` A ) e. CH /\ ( _|_ ` B ) e. CH ) -> ( ( _|_ ` A ) MH ( _|_ ` B ) <-> A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
86 16 26 85 syl2an 
 |-  ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( ( _|_ ` A ) MH ( _|_ ` B ) <-> A. y e. CH ( y C_ ( _|_ ` B ) -> ( ( y vH ( _|_ ` A ) ) i^i ( _|_ ` B ) ) = ( y vH ( ( _|_ ` A ) i^i ( _|_ ` B ) ) ) ) ) )
87 dmdbr 
 |-  ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A MH* B <-> A. x e. CH ( B C_ x -> ( ( x i^i A ) vH B ) = ( x i^i ( A vH B ) ) ) ) )
88 84 86 87 3bitr4rd 
 |-  ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A MH* B <-> ( _|_ ` A ) MH ( _|_ ` B ) ) )