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Theorem cvrnbtwn2

Description: The covers relation implies no in-betweenness. ( cvnbtwn2 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses cvrletr.b 
|- B = ( Base ` K )
cvrletr.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cvrletr.s 
|- .< = ( lt ` K )
cvrletr.c 
|- C = (
Assertion cvrnbtwn2 
|- ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ X C Y ) -> ( ( X .< Z /\ Z .<_ Y ) <-> Z = Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cvrletr.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cvrletr.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cvrletr.s 
 |-  .< = ( lt ` K )
4 cvrletr.c 
 |-  C = (
5 1 3 4 cvrnbtwn 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ X C Y ) -> -. ( X .< Z /\ Z .< Y ) )
6 5 3expia 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X C Y -> -. ( X .< Z /\ Z .< Y ) ) )
7 iman 
 |-  ( ( ( X .< Z /\ Z .<_ Y ) -> Z = Y ) <-> -. ( ( X .< Z /\ Z .<_ Y ) /\ -. Z = Y ) )
8 anass 
 |-  ( ( ( X .< Z /\ Z .<_ Y ) /\ -. Z = Y ) <-> ( X .< Z /\ ( Z .<_ Y /\ -. Z = Y ) ) )
9 simpl 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> K e. Poset )
10 simpr3 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
11 simpr2 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
12 2 3 pltval 
 |-  ( ( K e. Poset /\ Z e. B /\ Y e. B ) -> ( Z .< Y <-> ( Z .<_ Y /\ Z =/= Y ) ) )
13 9 10 11 12 syl3anc 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z .< Y <-> ( Z .<_ Y /\ Z =/= Y ) ) )
14 df-ne 
 |-  ( Z =/= Y <-> -. Z = Y )
15 14 anbi2i 
 |-  ( ( Z .<_ Y /\ Z =/= Y ) <-> ( Z .<_ Y /\ -. Z = Y ) )
16 13 15 bitrdi 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z .< Y <-> ( Z .<_ Y /\ -. Z = Y ) ) )
17 16 anbi2d 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .< Z /\ Z .< Y ) <-> ( X .< Z /\ ( Z .<_ Y /\ -. Z = Y ) ) ) )
18 8 17 bitr4id 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .< Z /\ Z .<_ Y ) /\ -. Z = Y ) <-> ( X .< Z /\ Z .< Y ) ) )
19 18 notbid 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( -. ( ( X .< Z /\ Z .<_ Y ) /\ -. Z = Y ) <-> -. ( X .< Z /\ Z .< Y ) ) )
20 7 19 bitr2id 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( -. ( X .< Z /\ Z .< Y ) <-> ( ( X .< Z /\ Z .<_ Y ) -> Z = Y ) ) )
21 6 20 sylibd 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X C Y -> ( ( X .< Z /\ Z .<_ Y ) -> Z = Y ) ) )
22 21 3impia 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ X C Y ) -> ( ( X .< Z /\ Z .<_ Y ) -> Z = Y ) )
23 1 3 4 cvrlt 
 |-  ( ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> X .< Y )
24 23 ex 
 |-  ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y -> X .< Y ) )
25 24 3adant3r3 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X C Y -> X .< Y ) )
26 25 3impia 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ X C Y ) -> X .< Y )
27 breq2 
 |-  ( Z = Y -> ( X .< Z <-> X .< Y ) )
28 26 27 syl5ibrcom 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ X C Y ) -> ( Z = Y -> X .< Z ) )
29 1 2 posref 
 |-  ( ( K e. Poset /\ Y e. B ) -> Y .<_ Y )
30 29 3ad2antr2 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y .<_ Y )
31 breq1 
 |-  ( Z = Y -> ( Z .<_ Y <-> Y .<_ Y ) )
32 30 31 syl5ibrcom 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z = Y -> Z .<_ Y ) )
33 32 3adant3 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ X C Y ) -> ( Z = Y -> Z .<_ Y ) )
34 28 33 jcad 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ X C Y ) -> ( Z = Y -> ( X .< Z /\ Z .<_ Y ) ) )
35 22 34 impbid 
 |-  ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ X C Y ) -> ( ( X .< Z /\ Z .<_ Y ) <-> Z = Y ) )