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Theorem cnfex

Description: The class of continuous functions between two topologies is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017)

Ref Expression
Assertion cnfex 
|- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) e. _V )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 eqid 
 |-  U. J = U. J
2 1 jctr 
 |-  ( J e. Top -> ( J e. Top /\ U. J = U. J ) )
3 istopon 
 |-  ( J e. ( TopOn ` U. J ) <-> ( J e. Top /\ U. J = U. J ) )
4 2 3 sylibr 
 |-  ( J e. Top -> J e. ( TopOn ` U. J ) )
5 eqid 
 |-  U. K = U. K
6 5 jctr 
 |-  ( K e. Top -> ( K e. Top /\ U. K = U. K ) )
7 istopon 
 |-  ( K e. ( TopOn ` U. K ) <-> ( K e. Top /\ U. K = U. K ) )
8 6 7 sylibr 
 |-  ( K e. Top -> K e. ( TopOn ` U. K ) )
9 cnfval 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` U. J ) /\ K e. ( TopOn ` U. K ) ) -> ( J Cn K ) = { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } )
10 4 8 9 syl2an 
 |-  ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) = { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } )
11 uniexg 
 |-  ( K e. Top -> U. K e. _V )
12 uniexg 
 |-  ( J e. Top -> U. J e. _V )
13 mapvalg 
 |-  ( ( U. K e. _V /\ U. J e. _V ) -> ( U. K ^m U. J ) = { f | f : U. J --> U. K } )
14 11 12 13 syl2anr 
 |-  ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( U. K ^m U. J ) = { f | f : U. J --> U. K } )
15 mapex 
 |-  ( ( U. J e. _V /\ U. K e. _V ) -> { f | f : U. J --> U. K } e. _V )
16 12 11 15 syl2an 
 |-  ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> { f | f : U. J --> U. K } e. _V )
17 14 16 eqeltrd 
 |-  ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( U. K ^m U. J ) e. _V )
18 rabexg 
 |-  ( ( U. K ^m U. J ) e. _V -> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } e. _V )
19 17 18 syl 
 |-  ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } e. _V )
20 10 19 eqeltrd 
 |-  ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) e. _V )