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Theorem cdlemkfid1N

Description: Lemma for cdlemkfid3N . (Contributed by NM, 29-Jul-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemk5.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemk5.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemk5.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemk5.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemk5.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemk5.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemk5.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
Assertion cdlemkfid1N 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) = ( G ` P ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemk5.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemk5.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemk5.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdlemk5.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemk5.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdlemk5.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8 cdlemk5.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
9 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
10 simp23 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> G e. T )
11 simp3r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
12 2 3 5 6 7 8 trljat3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .\/ ( R ` G ) ) = ( ( G ` P ) .\/ ( R ` G ) ) )
13 9 10 11 12 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( P .\/ ( R ` G ) ) = ( ( G ` P ) .\/ ( R ` G ) ) )
14 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> K e. HL )
15 simp21 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> F e. T )
16 simp3rl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> P e. A )
17 2 5 6 7 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. A ) -> ( F ` P ) e. A )
18 9 15 16 17 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( F ` P ) e. A )
19 2 5 6 7 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ P e. A ) -> ( G ` P ) e. A )
20 9 10 16 19 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( G ` P ) e. A )
21 3 5 hlatjcom 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( F ` P ) e. A /\ ( G ` P ) e. A ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( G ` P ) ) = ( ( G ` P ) .\/ ( F ` P ) ) )
22 14 18 20 21 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( G ` P ) ) = ( ( G ` P ) .\/ ( F ` P ) ) )
23 2 3 5 6 7 8 trlcoabs2N 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( ( F ` P ) .\/ ( G ` P ) ) )
24 9 15 10 11 23 syl121anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( ( F ` P ) .\/ ( G ` P ) ) )
25 6 7 8 trlcocnv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( R ` ( F o. `' G ) ) = ( R ` ( G o. `' F ) ) )
26 9 15 10 25 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( R ` ( F o. `' G ) ) = ( R ` ( G o. `' F ) ) )
27 26 oveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( F o. `' G ) ) ) = ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
28 2 3 5 6 7 8 trlcoabs2N 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ F e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( F o. `' G ) ) ) = ( ( G ` P ) .\/ ( F ` P ) ) )
29 9 10 15 11 28 syl121anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( F o. `' G ) ) ) = ( ( G ` P ) .\/ ( F ` P ) ) )
30 27 29 eqtr3d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( ( G ` P ) .\/ ( F ` P ) ) )
31 22 24 30 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
32 13 31 oveq12d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) = ( ( ( G ` P ) .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) )
33 1 6 7 8 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> ( R ` G ) e. B )
34 9 10 33 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( R ` G ) e. B )
35 simp1r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> W e. H )
36 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( R ` G ) =/= ( R ` F ) )
37 5 6 7 8 trlcocnvat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ F e. T ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` F ) ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) e. A )
38 14 35 10 15 36 37 syl221anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) e. A )
39 2 5 6 7 ltrnel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
40 9 10 11 39 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
41 6 7 ltrncnv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> `' F e. T )
42 9 15 41 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> `' F e. T )
43 6 7 8 trlcnv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( R ` `' F ) = ( R ` F ) )
44 9 15 43 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( R ` `' F ) = ( R ` F ) )
45 36 44 neeqtrrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( R ` G ) =/= ( R ` `' F ) )
46 simp22 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> F =/= ( _I |` B ) )
47 1 6 7 ltrncnvnid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) -> `' F =/= ( _I |` B ) )
48 9 15 46 47 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> `' F =/= ( _I |` B ) )
49 1 6 7 8 trlcone 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ `' F e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` `' F ) /\ `' F =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( R ` G ) =/= ( R ` ( G o. `' F ) ) )
50 9 10 42 45 48 49 syl122anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( R ` G ) =/= ( R ` ( G o. `' F ) ) )
51 eqid 
 |-  ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
52 51 5 6 7 8 trlator0 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> ( ( R ` G ) e. A \/ ( R ` G ) = ( 0. ` K ) ) )
53 9 10 52 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( ( R ` G ) e. A \/ ( R ` G ) = ( 0. ` K ) ) )
54 2 6 7 8 trlle 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> ( R ` G ) .<_ W )
55 14 35 10 54 syl21anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( R ` G ) .<_ W )
56 6 7 ltrnco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ `' F e. T ) -> ( G o. `' F ) e. T )
57 9 10 42 56 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( G o. `' F ) e. T )
58 2 6 7 8 trlle 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W )
59 9 57 58 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W )
60 2 3 51 5 6 lhp2at0nle 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` ( G o. `' F ) ) ) /\ ( ( ( R ` G ) e. A \/ ( R ` G ) = ( 0. ` K ) ) /\ ( R ` G ) .<_ W ) /\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) e. A /\ ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W ) ) -> -. ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ ( ( G ` P ) .\/ ( R ` G ) ) )
61 9 40 50 53 55 38 59 60 syl322anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> -. ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ ( ( G ` P ) .\/ ( R ` G ) ) )
62 1 2 3 4 5 2llnma1b 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( ( R ` G ) e. B /\ ( G ` P ) e. A /\ ( R ` ( G o. `' F ) ) e. A ) /\ -. ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ ( ( G ` P ) .\/ ( R ` G ) ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) = ( G ` P ) )
63 14 34 20 38 61 62 syl131anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) = ( G ` P ) )
64 32 63 eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ G e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` F ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( F ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) = ( G ` P ) )