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Theorem cdlemkfid1N

Description: Lemma for cdlemkfid3N . (Contributed by NM, 29-Jul-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk5.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk5.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk5.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk5.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk5.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk5.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
Assertion cdlemkfid1N ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) = ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk5.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk5.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk5.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk5.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk5.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk5.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk5.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 simp1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
10 simp23 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
11 simp3r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
12 2 3 5 6 7 8 trljat3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
13 9 10 11 12 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
14 simp1l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
15 simp21 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
16 simp3rl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
17 2 5 6 7 ltrnat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
18 9 15 16 17 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
19 2 5 6 7 ltrnat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
20 9 10 16 19 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
21 3 5 hlatjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) )
22 14 18 20 21 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) )
23 2 3 5 6 7 8 trlcoabs2N ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) )
24 9 15 10 11 23 syl121anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) )
25 6 7 8 trlcocnv ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐹 ∘ ◡ 𝐺 ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) )
26 9 15 10 25 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐹 ∘ ◡ 𝐺 ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) )
27 26 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐹 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
28 2 3 5 6 7 8 trlcoabs2N ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐹 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) )
29 9 10 15 11 28 syl121anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐹 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) )
30 27 29 eqtr3d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) )
31 22 24 30 3eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
32 13 31 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) )
33 1 6 7 8 trlcl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐵 )
34 9 10 33 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐵 )
35 simp1r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
36 simp3l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
37 5 6 7 8 trlcocnvat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐴 )
38 14 35 10 15 36 37 syl221anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐴 )
39 2 5 6 7 ltrnel ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) )
40 9 10 11 39 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) )
41 6 7 ltrncnv ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ◡ 𝐹 ∈ 𝑇 )
42 9 15 41 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ◡ 𝐹 ∈ 𝑇 )
43 6 7 8 trlcnv ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
44 9 15 43 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
45 36 44 neeqtrrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐹 ) )
46 simp22 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
47 1 6 7 ltrncnvnid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ◡ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
48 9 15 46 47 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ◡ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
49 1 6 7 8 trlcone ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◡ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐹 ) ∧ ◡ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) )
50 9 10 42 45 48 49 syl122anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) )
51 eqid ⊢ ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 )
52 51 5 6 7 8 trlator0 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
53 9 10 52 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
54 2 6 7 8 trlle ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ 𝑊 )
55 14 35 10 54 syl21anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ 𝑊 )
56 6 7 ltrnco ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◡ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
57 9 10 42 56 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
58 2 6 7 8 trlle ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ≤ 𝑊 )
59 9 57 58 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ≤ 𝑊 )
60 2 3 51 5 6 lhp2at0nle ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ≤ 𝑊 ) ) → ¬ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ≤ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
61 9 40 50 53 55 38 59 60 syl322anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ¬ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ≤ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
62 1 2 3 4 5 2llnma1b ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ≤ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) = ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) )
63 14 34 20 38 61 62 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) = ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) )
64 32 63 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) = ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) )