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Theorem cdlemk10

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. (Contributed by NM, 29-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemk.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemk.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemk.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemk.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemk.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemk.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemk.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemk.v1 
|- V = ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) )
Assertion cdlemk10 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> V .<_ ( R ` ( X o. `' G ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemk.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemk.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemk.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdlemk.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdlemk.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7 cdlemk.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
8 cdlemk.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
9 cdlemk.v1 
 |-  V = ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) )
10 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
11 simp22 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G e. T )
12 simp21 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> F e. T )
13 5 6 ltrncnv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> `' F e. T )
14 10 12 13 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> `' F e. T )
15 5 6 ltrnco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ `' F e. T ) -> ( G o. `' F ) e. T )
16 10 11 14 15 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G o. `' F ) e. T )
17 2 5 6 7 trlle 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W )
18 10 16 17 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W )
19 simp23 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> X e. T )
20 5 6 ltrnco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. T /\ `' F e. T ) -> ( X o. `' F ) e. T )
21 10 19 14 20 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( X o. `' F ) e. T )
22 2 5 6 7 trlle 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( X o. `' F ) ) .<_ W )
23 10 21 22 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( X o. `' F ) ) .<_ W )
24 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. HL )
25 24 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. Lat )
26 1 5 6 7 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B )
27 10 16 26 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B )
28 1 5 6 7 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( X o. `' F ) ) e. B )
29 10 21 28 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( X o. `' F ) ) e. B )
30 simp1r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. H )
31 1 5 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. B )
32 30 31 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. B )
33 1 2 3 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B /\ ( R ` ( X o. `' F ) ) e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W /\ ( R ` ( X o. `' F ) ) .<_ W ) <-> ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) .<_ W ) )
34 25 27 29 32 33 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W /\ ( R ` ( X o. `' F ) ) .<_ W ) <-> ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) .<_ W ) )
35 18 23 34 mpbi2and 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) .<_ W )
36 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B /\ ( R ` ( X o. `' F ) ) e. B ) -> ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) e. B )
37 25 27 29 36 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) e. B )
38 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P e. A )
39 2 4 5 6 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ P e. A ) -> ( G ` P ) e. A )
40 10 11 38 39 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G ` P ) e. A )
41 2 4 5 6 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. T /\ P e. A ) -> ( X ` P ) e. A )
42 10 19 38 41 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( X ` P ) e. A )
43 1 3 4 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( G ` P ) e. A /\ ( X ` P ) e. A ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) e. B )
44 24 40 42 43 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) e. B )
45 1 2 8 latmlem2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) e. B /\ W e. B /\ ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) e. B ) ) -> ( ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) .<_ W -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) ) .<_ ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) ) )
46 25 37 32 44 45 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) .<_ W -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) ) .<_ ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) ) )
47 35 46 mpd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) ) .<_ ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) )
48 simp3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
49 1 2 3 4 5 6 7 8 cdlemk9 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) = ( R ` ( X o. `' G ) ) )
50 24 30 11 19 48 49 syl221anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) = ( R ` ( X o. `' G ) ) )
51 47 50 breqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) ) .<_ ( R ` ( X o. `' G ) ) )
52 9 51 eqbrtrid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> V .<_ ( R ` ( X o. `' G ) ) )