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Theorem cdlemc3

Description: Part of proof of Lemma C in Crawley p. 113. (Contributed by NM, 26-May-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdlemc3.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemc3.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemc3.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemc3.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemc3.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemc3.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemc3.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
Assertion cdlemc3 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( ( F ` P ) .<_ ( Q .\/ ( R ` F ) ) -> Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemc3.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemc3.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdlemc3.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdlemc3.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdlemc3.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdlemc3.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7 cdlemc3.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
8 simpll 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> K e. HL )
9 simpl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
10 simpr1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> F e. T )
11 simpr2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> P e. A )
12 1 4 5 6 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. A ) -> ( F ` P ) e. A )
13 9 10 11 12 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( F ` P ) e. A )
14 simpr3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> Q e. A )
15 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
16 15 5 6 7 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( R ` F ) e. ( Base ` K ) )
17 10 16 syldan 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( R ` F ) e. ( Base ` K ) )
18 1 4 5 6 ltrnel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( F ` P ) e. A /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) )
19 18 3adant3r3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( ( F ` P ) e. A /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) )
20 1 4 5 6 7 trlnle 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( F ` P ) e. A /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) ) -> -. ( F ` P ) .<_ ( R ` F ) )
21 9 10 19 20 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> -. ( F ` P ) .<_ ( R ` F ) )
22 15 1 2 4 hlexch2 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( ( F ` P ) e. A /\ Q e. A /\ ( R ` F ) e. ( Base ` K ) ) /\ -. ( F ` P ) .<_ ( R ` F ) ) -> ( ( F ` P ) .<_ ( Q .\/ ( R ` F ) ) -> Q .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( R ` F ) ) ) )
23 8 13 14 17 21 22 syl131anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( ( F ` P ) .<_ ( Q .\/ ( R ` F ) ) -> Q .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( R ` F ) ) ) )
24 1 2 4 5 6 7 trljat2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( R ` F ) ) = ( P .\/ ( F ` P ) ) )
25 24 3adant3r3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( R ` F ) ) = ( P .\/ ( F ` P ) ) )
26 25 breq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( Q .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( R ` F ) ) <-> Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) )
27 23 26 sylibd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( ( F ` P ) .<_ ( Q .\/ ( R ` F ) ) -> Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) )