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Theorem axinfndlem1

Description: Lemma for the Axiom of Infinity with no distinct variable conditions. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 5-Jan-2002)

Ref Expression
Assertion axinfndlem1 
|- ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 zfinf 
 |-  E. w ( y e. w /\ A. y ( y e. w -> E. z ( y e. z /\ z e. w ) ) )
2 nfnae 
 |-  F/ x -. A. x x = y
3 nfnae 
 |-  F/ x -. A. x x = z
4 2 3 nfan 
 |-  F/ x ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z )
5 nfcvf 
 |-  ( -. A. x x = y -> F/_ x y )
6 5 adantr 
 |-  ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ x y )
7 nfcvd 
 |-  ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ x w )
8 6 7 nfeld 
 |-  ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x y e. w )
9 nfnae 
 |-  F/ y -. A. x x = y
10 nfnae 
 |-  F/ y -. A. x x = z
11 9 10 nfan 
 |-  F/ y ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z )
12 nfnae 
 |-  F/ z -. A. x x = y
13 nfnae 
 |-  F/ z -. A. x x = z
14 12 13 nfan 
 |-  F/ z ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z )
15 nfcvf 
 |-  ( -. A. x x = z -> F/_ x z )
16 15 adantl 
 |-  ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ x z )
17 6 16 nfeld 
 |-  ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x y e. z )
18 16 7 nfeld 
 |-  ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x z e. w )
19 17 18 nfand 
 |-  ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x ( y e. z /\ z e. w ) )
20 14 19 nfexd 
 |-  ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x E. z ( y e. z /\ z e. w ) )
21 8 20 nfimd 
 |-  ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x ( y e. w -> E. z ( y e. z /\ z e. w ) ) )
22 11 21 nfald 
 |-  ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x A. y ( y e. w -> E. z ( y e. z /\ z e. w ) ) )
23 8 22 nfand 
 |-  ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x ( y e. w /\ A. y ( y e. w -> E. z ( y e. z /\ z e. w ) ) ) )
24 simpr 
 |-  ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> w = x )
25 24 eleq2d 
 |-  ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( y e. w <-> y e. x ) )
26 nfcvd 
 |-  ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ y w )
27 nfcvf2 
 |-  ( -. A. x x = y -> F/_ y x )
28 27 adantr 
 |-  ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ y x )
29 26 28 nfeqd 
 |-  ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ y w = x )
30 11 29 nfan1 
 |-  F/ y ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x )
31 nfcvd 
 |-  ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ z w )
32 nfcvf2 
 |-  ( -. A. x x = z -> F/_ z x )
33 32 adantl 
 |-  ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ z x )
34 31 33 nfeqd 
 |-  ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ z w = x )
35 14 34 nfan1 
 |-  F/ z ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x )
36 elequ2 
 |-  ( w = x -> ( z e. w <-> z e. x ) )
37 36 anbi2d 
 |-  ( w = x -> ( ( y e. z /\ z e. w ) <-> ( y e. z /\ z e. x ) ) )
38 37 adantl 
 |-  ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( ( y e. z /\ z e. w ) <-> ( y e. z /\ z e. x ) ) )
39 35 38 exbid 
 |-  ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( E. z ( y e. z /\ z e. w ) <-> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) )
40 25 39 imbi12d 
 |-  ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( ( y e. w -> E. z ( y e. z /\ z e. w ) ) <-> ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )
41 30 40 albid 
 |-  ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( A. y ( y e. w -> E. z ( y e. z /\ z e. w ) ) <-> A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )
42 25 41 anbi12d 
 |-  ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( ( y e. w /\ A. y ( y e. w -> E. z ( y e. z /\ z e. w ) ) ) <-> ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
43 42 ex 
 |-  ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( w = x -> ( ( y e. w /\ A. y ( y e. w -> E. z ( y e. z /\ z e. w ) ) ) <-> ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) ) )
44 4 23 43 cbvexd 
 |-  ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( E. w ( y e. w /\ A. y ( y e. w -> E. z ( y e. z /\ z e. w ) ) ) <-> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
45 1 44 mpbii 
 |-  ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )
46 45 a1d 
 |-  ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
47 46 ex 
 |-  ( -. A. x x = y -> ( -. A. x x = z -> ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) ) )
48 nd1 
 |-  ( A. x x = y -> -. A. x y e. z )
49 48 pm2.21d 
 |-  ( A. x x = y -> ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
50 nd2 
 |-  ( A. x x = z -> -. A. x y e. z )
51 50 pm2.21d 
 |-  ( A. x x = z -> ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
52 47 49 51 pm2.61ii 
 |-  ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )