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Theorem axinfnd

Description: A version of the Axiom of Infinity with no distinct variable conditions. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 5-Jan-2002)

Ref Expression
Assertion axinfnd 
|- E. x ( y e. z -> ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 axinfndlem1 
 |-  ( A. x w e. z -> E. x ( w e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) ) )
2 1 ax-gen 
 |-  A. w ( A. x w e. z -> E. x ( w e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) ) )
3 nfnae 
 |-  F/ y -. A. y y = x
4 nfnae 
 |-  F/ y -. A. y y = z
5 3 4 nfan 
 |-  F/ y ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z )
6 nfnae 
 |-  F/ x -. A. y y = x
7 nfnae 
 |-  F/ x -. A. y y = z
8 6 7 nfan 
 |-  F/ x ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z )
9 nfcvd 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/_ y w )
10 nfcvf 
 |-  ( -. A. y y = z -> F/_ y z )
11 10 adantl 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/_ y z )
12 9 11 nfeld 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ y w e. z )
13 8 12 nfald 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ y A. x w e. z )
14 nfcvf 
 |-  ( -. A. y y = x -> F/_ y x )
15 14 adantr 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/_ y x )
16 9 15 nfeld 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ y w e. x )
17 nfnae 
 |-  F/ w -. A. y y = x
18 nfnae 
 |-  F/ w -. A. y y = z
19 17 18 nfan 
 |-  F/ w ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z )
20 nfnae 
 |-  F/ z -. A. y y = x
21 nfnae 
 |-  F/ z -. A. y y = z
22 20 21 nfan 
 |-  F/ z ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z )
23 11 15 nfeld 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ y z e. x )
24 12 23 nfand 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ y ( w e. z /\ z e. x ) )
25 22 24 nfexd 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ y E. z ( w e. z /\ z e. x ) )
26 16 25 nfimd 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ y ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) )
27 19 26 nfald 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ y A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) )
28 16 27 nfand 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ y ( w e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) ) )
29 8 28 nfexd 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ y E. x ( w e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) ) )
30 13 29 nfimd 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ y ( A. x w e. z -> E. x ( w e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
31 nfcvd 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/_ x w )
32 nfcvf2 
 |-  ( -. A. y y = x -> F/_ x y )
33 32 adantr 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/_ x y )
34 31 33 nfeqd 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ x w = y )
35 8 34 nfan1 
 |-  F/ x ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y )
36 simpr 
 |-  ( ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y ) -> w = y )
37 36 eleq1d 
 |-  ( ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y ) -> ( w e. z <-> y e. z ) )
38 35 37 albid 
 |-  ( ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y ) -> ( A. x w e. z <-> A. x y e. z ) )
39 36 eleq1d 
 |-  ( ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y ) -> ( w e. x <-> y e. x ) )
40 nfcvd 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/_ z w )
41 nfcvf2 
 |-  ( -. A. y y = z -> F/_ z y )
42 41 adantl 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/_ z y )
43 40 42 nfeqd 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ z w = y )
44 22 43 nfan1 
 |-  F/ z ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y )
45 37 anbi1d 
 |-  ( ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y ) -> ( ( w e. z /\ z e. x ) <-> ( y e. z /\ z e. x ) ) )
46 44 45 exbid 
 |-  ( ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y ) -> ( E. z ( w e. z /\ z e. x ) <-> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) )
47 39 46 imbi12d 
 |-  ( ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y ) -> ( ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) <-> ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )
48 47 ex 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> ( w = y -> ( ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) <-> ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
49 5 26 48 cbvald 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> ( A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) <-> A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )
50 49 adantr 
 |-  ( ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y ) -> ( A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) <-> A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )
51 39 50 anbi12d 
 |-  ( ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y ) -> ( ( w e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) ) <-> ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
52 35 51 exbid 
 |-  ( ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y ) -> ( E. x ( w e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) ) <-> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
53 38 52 imbi12d 
 |-  ( ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y ) -> ( ( A. x w e. z -> E. x ( w e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) ) ) <-> ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) ) )
54 53 ex 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> ( w = y -> ( ( A. x w e. z -> E. x ( w e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) ) ) <-> ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) ) ) )
55 5 30 54 cbvald 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> ( A. w ( A. x w e. z -> E. x ( w e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) ) ) <-> A. y ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) ) )
56 2 55 mpbii 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> A. y ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
57 56 19.21bi 
 |-  ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
58 57 ex 
 |-  ( -. A. y y = x -> ( -. A. y y = z -> ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) ) )
59 nd1 
 |-  ( A. x x = y -> -. A. x y e. z )
60 59 aecoms 
 |-  ( A. y y = x -> -. A. x y e. z )
61 60 pm2.21d 
 |-  ( A. y y = x -> ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
62 nd3 
 |-  ( A. y y = z -> -. A. x y e. z )
63 62 pm2.21d 
 |-  ( A. y y = z -> ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
64 58 61 63 pm2.61ii 
 |-  ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )
65 64 19.35ri 
 |-  E. x ( y e. z -> ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )